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Rotationnel et gradient



  1. #1
    gatsu

    Rotationnel et gradient


    ------

    Bonjour,

    Voilà je ne suis pas sûr d'un truc...
    On sais que si un champ de vecteur est tel que
    , où f est une fonction, alors on aura forcément
    .
    La question que je me pose est si la réciproque est vraie ?
    Est ce que
    implique ? Si ce n'est pas toujours le cas, dans quel cas cela l'est il.
    vrai ?

    -----

  2. #2
    rvz

    Re : rotationnel et gradient

    Salut,

    C'est vrai dans un ouvert simplement connexe (en dimension 3, hein, en dimension quelconque il n'y a pas de rotationnel).

    __
    rvz

  3. #3
    homotopie

    Re : rotationnel et gradient

    Pour info : ça s'étend néanmoins en dimension quelconque sous une autre forme (jeu de mots involontaire).
    Une fonction est une 0-forme différentielle sa dérivée en tant que forme différentielle est la 1-forme différentielle :

    La dérivée d'une 1-forme différentielle est :

    On reconnaît en partie le rotationnel pour n=3 (la bijection entre les formes bilinéaires alternées de R3 et R3 lui même, ce qui n'arrive qu'en dimension 3, fait que le rotationnel, un vecteur, existe en dimension 3). (La divergence peut être réinterprétée comme la dérivation des 2-formes différentielles).
    On a toujours d²f=0 (c'est d'ailleurs vrai pour toutes les n-formes différentielles w : tous les dw sont des formes fermées).
    Maintenant, la condition pour une variété X (connexe pour se simplifier la vie) (un ouvert d'un ev réel de dimension finie en est toujours une) pour que tous les formes 1-formes fermées (dw=0) soient exactes (w=df) est que le 1er groupe de cohomologie H1(X;k)={0} dans un corps de caractéristique nulle (généralement, Q, R ou C) soit nul (c'est toujours le cas quand la variété est simplement connexe mais cette condition n'est pas nécessaire, par exemple les groupes de Lie SO(n), n>2, vérifient cette propriété ""exacte=fermée" pour les 1-formes bien que leur groupe fondamental soit isomorphe à Z/2Z, en fait il faut et il suffit que le groupe fondamental soit de torsion : pour tout x il eiste n tel que xn=élément neutre).
    La propriété "exacte=fermée" est vraie pour les m-formes différentielles sur une variété X si et seulement si Hm(X;k)={0} (k=Q, R, C ou tout corps commutatif (?) de caractéristique nulle).
    En fait ce qui précède peut sembler une lapalissade (pas de monsieur ou madame tout le monde certes) car Hm(X;R) peut être définie comme le quotient ker(dm : m-formes->(m+1)-formes)/Im(dm-1 (m-1)-formes->m-formes) mais elle peut être calculée par d'autres biais (simpliciales, singulières par exemple).

  4. #4
    gatsu

    Re : Rotationnel et gradient

    Merci pour vos réponses ! Je me rappelais bien qu'il y avait une histoire de cohomologie mais pas du tout dans ce détail

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