Rotationnel et gradient

[gatsu]

Bonjour,

Voilà je ne suis pas sûr d'un truc...
On sais que si un champ de vecteur est tel que
, où f est une fonction, alors on aura forcément
.
La question que je me pose est si la réciproque est vraie ?
Est ce que
implique ? Si ce n'est pas toujours le cas, dans quel cas cela l'est il.
vrai ?
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

C'est vrai dans un ouvert simplement connexe (en dimension 3, hein, en dimension quelconque il n'y a pas de rotationnel).

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rvz

[invite35452583]

Pour info : ça s'étend néanmoins en dimension quelconque sous une autre forme (jeu de mots involontaire).
Une fonction est une 0-forme différentielle sa dérivée en tant que forme différentielle est la 1-forme différentielle :

La dérivée d'une 1-forme différentielle est :

On reconnaît en partie le rotationnel pour n=3 (la bijection entre les formes bilinéaires alternées de R³ et R³ lui même, ce qui n'arrive qu'en dimension 3, fait que le rotationnel, un vecteur, existe en dimension 3). (La divergence peut être réinterprétée comme la dérivation des 2-formes différentielles).
On a toujours d²f=0 (c'est d'ailleurs vrai pour toutes les n-formes différentielles w : tous les dw sont des formes fermées).
Maintenant, la condition pour une variété X (connexe pour se simplifier la vie) (un ouvert d'un ev réel de dimension finie en est toujours une) pour que tous les formes 1-formes fermées (dw=0) soient exactes (w=df) est que le 1er groupe de cohomologie H¹(X;k)={0} dans un corps de caractéristique nulle (généralement, Q, R ou C) soit nul (c'est toujours le cas quand la variété est simplement connexe mais cette condition n'est pas nécessaire, par exemple les groupes de Lie SO(n), n>2, vérifient cette propriété ""exacte=fermée" pour les 1-formes bien que leur groupe fondamental soit isomorphe à Z/2Z, en fait il faut et il suffit que le groupe fondamental soit de torsion : pour tout x il eiste n tel que xⁿ=élément neutre).
La propriété "exacte=fermée" est vraie pour les m-formes différentielles sur une variété X si et seulement si H^m(X;k)={0} (k=Q, R, C ou tout corps commutatif (?) de caractéristique nulle).
En fait ce qui précède peut sembler une lapalissade (pas de monsieur ou madame tout le monde certes) car H^m(X;R) peut être définie comme le quotient ker(d_m : m-formes->(m+1)-formes)/Im(d_m-1 (m-1)-formes->m-formes) mais elle peut être calculée par d'autres biais (simpliciales, singulières par exemple).

[gatsu]

Merci pour vos réponses ! Je me rappelais bien qu'il y avait une histoire de cohomologie mais pas du tout dans ce détail

[A voir en vidéo sur Futura]