Gradient, rotationnel et divergence

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai lu un pdf sur les opérateurs gradient, rotationnel et divergence, mais j'ai du mal à voir ce qu'ils représentent plus "concrètement".

Je sais que l'opérateur gradient indique la direction où la dérivée du champ vectoriel est la plus importante, mais je ne vois pas d'interprétations équivalentes pour les opérateurs rotationnel et divergence.

J'aimerais également savoir pourquoi le gradient et la divergence s'écrivent de manière identique en introduisant l'opérateur nabla :

et

alors que le gradient se met sous la forme de composantes d'un vecteur (donc d'une matrice 3*1), et la divergence sous forme d'un scalaire (j'espère que j'utilise le mot à bon escient).

Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Merci d'avance
Phys2
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[invite54165721]

Bonjour,

et

En fait les notations sont différentes, on écrit


pour la divergence on a un produit scalaire, ici non pour un gradient.

voir l'article nabla sur wiki en francais.

[Calvert]

Salut!

Le gradient s'applique sur une fonction. Le résultat est un vecteur. Il indique la direction de la plus forte variation de la fonction.

La divergence s'applique à un champ de vecteurs, le résultat est un scalaire.

Le rotationnel s'applique à un champ de vecteurs, le résultat est un vecteur. Il montre si le champ de vecteur a tendance à tourner autour de certains points.

[Karibou Blanc]

Je sais que l'opérateur gradient indique la direction où la dérivée du champ vectoriel est la plus importante, mais je ne vois pas d'interprétations équivalentes pour les opérateurs rotationnel et divergence.

Restons par exemple sur un plan en 2D et focalisons nous sur un point fixe (x,y). Le gradient indique dans quelle direction la variation d'une fonction scalaire f(x,y) est la plus importante. Le rotation et la divergence s'applique à des champs de vecteurs, en chaque point on associera donc une fleche representant le vecteur F(x,y)={Fx(x,y);Fy(x,y)}. La divergence indique si les fleches converge ou non vers le point (x,y), cad si ce point est un attracteur pour le champ F. quelque soit la direction avec laquelle tu regardes le point (x,y) si la divergence est non nulle en ce point, le champ va pointer vers lui ou le fuir suivant le signe de la divergence. Le rotationnel va t'inquiquer quant à lui si le champ à tendance à tourner autour de ce point.

J'esssaie de trouver des croquis, si tu n'arrives pas visualiser ca.

[A voir en vidéo sur Futura]

[cacahuete1er]

Quelques impressisions il me semble,

 Cliquez pour afficher

Le gradient s'applique sur une fonction. Le résultat est un vecteur.

Euh non, pas seulement, le gradiant est un opérateur qui peut s'appliquer a tt tenseur (scalaire, vecteur, matrice ou autre de degres superieur). Si tu l'applique à un tenseur d'orde n tu obtient un tenseur d'ordre n+1 (un scalaire donne un vecteur, un vecteur donne une matrice.....). Il donne les variations relatives (dérivés) par rapport aux différents parametres (pas seulement la +forte).
Il se note
nabla f (sans le point)

 Cliquez pour afficher

La divergence s'applique à un champ de vecteurs, le résultat est un scalaire.

Là aussi la divergence peux s'appliquer à tt tenseur d'ordre >1. On diminue alors la dimension (vecteur donne scalaire etc..). C'est la somme des variations par rapport aux parametres.
Il se note
nabla.f (avec le point)

En esperant ne pas avoir trop dit de co...

[chwebij]

POUR mieux comprendre l'opérateur divergence et rotationnel il faut passer par les théoremes respectifs de Green Ostrogradsky et de Stockes

soit un champs de vecteur
soit une surface fermé S
le flux est à travers cette surface est alors égale à

d'après le théorème de Green Ostrogradsky, on a:

avec dV le volume délimité par la surface

donc si alors et le flux est sortant d'où le terme de divergence

si alors et le flux est rentrant on a une convergence du champs

si alors et le flux rentrant est égale aux flux sortant,on a parle de flux conservatif ( à l'instar du champs B)

on peut utiliser un raisonnement similaire pour le rotationnel avec le th de Stockes et sur la circulation d'un champs

[invite58549cb8]

Par rapport à la réponse de cacahuète 1er

Je suis d'accord!
Et à des ordres supérieurs c'est d'ailleurs utilisé "relativement" couramment en mécanique des milieux continus...

Pour + de détails sur ces opérateurs, entre autres dans le cadre de champ tensoriel d'ordre supérieur à 1:

http://jgarrigues.perso.egim-mrs.fr/tenshtml/

Cordialement,

[Karibou Blanc]

POUR mieux comprendre l'opérateur divergence et rotationnel il faut passer par les théoremes respectifs de Green Ostrogradsky et de Stockes

personnellement je ne pense pas, mais bon c'est personnel. Moi je comprends mieux ces opérateurs en regardant l'écoulement de l'eau dans le syphon d'un évier (c'est ce que j'ai essayé de décrire, j'ai pas eu le temps de faire de joli dessins), et pas en regardant des formules.

Ensuite les theoremes qui tu cites, relier la divergence au flux à travers une surface fermée (ou du moins courbe c'est nécessaire, sinon on peut avoir un flux sans divergence, cf écoulement d'une rivière bien droite) permet un peu de visualiser, mais pour le rotationnel, c'est plus chaud.
Le seul moyen que je vois pour comprendre l'opérateur rotationnel en regardant sa forme mathématique est qu'il calcule la variation d'une composante d'un champ (disons x) dans une direction orthogonale (selon y). Ainsi en gros, si la composante x décroit lorsque y croit, alors le champ est entrain de tourner, c'est ce que mesure le rotationnel.

[Calvert]

Mettons que oui, on peut appliquer ces opérateurs à tous ce qui est approprié. Maintenant, la première fois que l'on vous a expliqué ce qu'était le gradient, je me permets de douter que l'on vous ait dit "appliquer votre gradient à un tenseur".
Enfin, c'est mon idée de la pédagogie, je me trompe peut-être.

[invite527bba59]

Salut
Mon prof de physique avait donné une explication tres concrete du rotationnel dans le cas de la mécanique des fluides.
Il suffit d'imaginer que l'on pose une allumette dans l'écoulement (et qu'elle est totalement entrainée par le fluide) :
Si l'écoulement possède un rotationnel nul, l'allumette va peut etre bouger , mais elle restera parallele a sa position initiale.
A l'inverse, si le rot est non nul, elle va pivoter ( pas forcement sur place).

Par exemple, je crois me souvenir qu'a proximité du coeur d'une tornade, les debris volent en restant parallele, car malgré la rotation générale, le rot est nul a cet endroit. (ce n'est qu'un souvenir, corriger moi si je me trompe)

[Seirios]

Merci à tous je pense avoir compris

Simplement une petite question sur le rotationnel : Le signe de cet opérateur a-t-il une signification ? Par exemple, le signe positif indiquerait un certain sens (pourquoi pas le sens trigonométrique) tandis que le signe négatif indiquerait un sens opposé.

Et puis si quelqu'un avait quelques exemples assez "basiques" avec les calculs, cela pourrait également m'aider.

[Bouli]

Tu fais de l'électromagnétisme ?

Si oui, prenons un fil électrique dans lequel circule un courant de vecteur j. Le champ créé tourne autour dans le sens trigonométrique si le courant vient vers toi (règle de la main droite). On devrait donc avoir un rotationnel de B non nul.
Prenons l'équation de Maxwell sur B : rot B = mu0 j + mu0 epsilon0 dE/dt. Il n'y a pas de variation de champ électrique donc la relation devient rot B = mu0 j. Le courant j est non nul donc le rotationnel est non nul.

Prenons maintenant l'équation de Maxwell sur la divergence du champ magnétique div B = 0. On sait de manière générale qu'il n'existe aucune source ponctuelle de champ magnétique. Donc si tu étudies un aimant et que tu étudies le champ magnétique entrant et sortant, tu trouveras qu'il y en a autant qui entre et qui sort, la divergence est logiquement nulle !

Par contre pour le champ électrique, si tu étudies un électron, tu constates que le champ électrique est constitué de vecteurs qui pointent tous vers l'électron. Si tu dessines une boule avec l'électron à l'intérieur, il n'y aucun vecteur champ électrique qui en sort, ils rentrent tous. La divergence est non nulle (et vaut plus exactement -e/epislon0 pour un électron). Comme l'électron est chargé négativement, la divergence est négative, ca veut dire que les vecteurs vont vers l'électron.

[Seirios]

D'accord merci

[kem08]

Bon j'arrive à votre secours 2 ans après la question
J'espère que mes explication seront utiles aux futurs lecteurs futurs de ce billet.
Concernant l'opérateur de la divergence je vous propose une petite expérience de pensée.
Imaginez que vous êtes devant une boulangerie en train de faire la queue, vous voyez des gens entrer les un après les autres et d'autre sortir avec leur baguette...
il y à 15 personnes devant vous, vous avez le temps de vous poser des tas de questions, sur la divergence par exemple...
Vous vous demandez par éxemple combien de personnes sont à l'intérieur de la boulangerie et si le nombre de ces personnes varie au cour du temps...
La réponse à cette question est simple : il suffit de compter le nombre de personnes qui entrent pendant une période de temps (disons 5 mn) et le nombre de personnes qui sortent au cours de la même période de temps...
Si vous comptez 6 personnes qui entre mais seulement 4 personnes qui sortent pendant la même durée vous en déduirez que le nombre de personnes à l'intérieur de la boulangerie à augmenté de 2 personnes pendant cette durée.
Imaginons maintenant qu'il y ai 3 portes d'entrée dans la boulangerie et bien évidement 3 portes de sortie !
Les gens peuvent entrer par n'importe laquelle des 3 portes et sortir par n'importe laquelle des 3 portes...
Appelons X les portes d'entrée/sortie situé à droite de la boulangerie, Y les portes d'entrée/sortie située au milieu et Z les 2 autres...
Pour faire le calcul précédent vous devrez faire votre calcul sur chaque couple de portes : combien de gens entrent par la porte d'entrée X et sortent par la porte de sortie X ? de même pour Y et Z en 5 mn...
Admettons que 3 personnes entrent en X et 1 personne sorte en X, bilan : +2 pour la boulangerie, voila la contribution de X !
Vous constatez que la porte Y laisse entrer 4 personnes mais en fait sortir 7 : la boulangerie a perdu 3 personnes à cause des portes Y, voilà leur contribution.
Les portes Z permettent à 9 personnes d'entrer et à 8 personnes de sortir ; contribution des porte Z=+1.
Pour savoir de combien le nombre de personnes a évolué à l'intérieur de la boulangerie au cours de ces 5 mn il faudra tout simplement additionner les 3 contributions, celle de X, Y et Z...
+2-3+1=0
Le nombre de personnes à l'intérieur de la boulangerie n'a pas varié au cours de ces 5 mn et pourtant des tas de gens sont entré et des tas de gens sont sortis avec leurs baguettes...
Le nombre de personne n'a pas divergé !
le bilan fait sur 5 mn peut être fait sur une durée plus courte : c'est une variation, donc une dérivée...
La divergence n'est rien d'autre que la somme des 3 dérivées !
Dans les problèmes de physique on étudie la variation de la grandeur par rapport au 3 axes et on somme ces 3 variations pour connaitre la variation (de flux) dans le petit volume dv... ça ressemble beaucoup à mon petit problème de baguette et de boulangerie vous trouvez pas ?
Je viens de me rendre compte qu'avec tout ça j'ai laissé passer mon tour !!!