Bonjour !
Je suis étudiant en maitrise de physique et je me suis toujours posé une question en électromagnétisme (voire en math tout court d'ailleurs !)
Donc dans les équations de Maxwell, autant je comprends la définition d'un gradient qu'on peut comparer au gradient d'altitude sur des cartes de randonnées. Mais comment expliquer, "avec les mains", ce que sont la divergence d'un champs et son rotationnel ?
Merci !!
Salut
As tu ete sur wikipedia ?
- voila pour divergence: "In vector calculus, the divergence is an operator that measures a vector field's tendency to originate from or converge upon a given point. For instance, for a vector field that denotes the velocity of air expanding as it is heated, the divergence of the velocity field would have a positive value because the air is expanding. Conversely, if the air is cooling and contracting, the divergence would be negative."
Une bonne maniere de voir ce qui se passe est de travailler avec des lignes de champs. Si tu as une charge electrique a un point, il va en rayonner des lignes de champs. Le flux de ces lignes autour du point est donne la divergence en ce point integre sur la surface. Ainsi le champs magnetique ayant une divergence nulle, ca signifie qu une ligne de champs qui sort de la surface va y re entrer quelque part: pas de flux nets
- pour le rotationnel (curl en anglais) "In vector calculus, curl is a vector operator that shows a vector field's rate of rotation: the direction of the axis of rotation and the magnitude of the rotation. It can also be described as the circulation density." et voila les exemples qu ils donnent
"# In a tornado the winds are rotating about the eye, and a vector field showing wind velocities would have a non-zero curl at the eye, and possibly elsewhere (see vorticity).
# In a vector field that describes the linear velocities of each individual part of a rotating disk, the curl will have a constant value on all parts of the disk.
# If velocities of cars on a freeway were described with a vector field, and the lanes had different speed limits, the curl on the borders between lanes would be non-zero."
En statique, le rotationnel de E est nul: les lignes de champs sont des droites rayonnant de la charge
a+
moi pour une definition physicienne j'utilise le theoreme de Green Ostrogradsky, et la on comprend la def de div
soit un volumecentré sur un point M tel que
avec theoreme GO
si le champ de vecteur est:
_divergent: le flux est positif et donc
_convergent: le flux est negatif on a
_flux consevatif;
pour cette exemple ca marche mais il ne faut pas generaliser, du moins j'evite.
Hum, nan mais ca m'eclaire pas beaucoup ca... Par exemple, l'equation de continuite de mecaflotte, c'est
drho/dt+div(rho*v)=0... Je sais d'ou ca vient, mais je ne la comprends pas physiquement avec les mains...
Plus genant peut etre que l'equation de continuité, c'est celle de naier stokes. On a dv/dt=-gradp+div(T)+des brouettes.
T c'est un tenseur des contraintes... je comprends pas la
typiquement tu as toujours une équation du genre "variation temporelle d'une densité de truc" égale "divergence du vecteur flux du truc" + terme source éventuel.
ça dit juste : ce qui est là (la densité de truc) change de deux manières : ça sort (le flux mesuré par la divergence) ou c'est créé.
le "truc" peut éventuellement être vectoriel (une densité d'impulsion) ce qui implique que le "vecteur flux" est alors un tenseur...
si tu as accès à une biblio, je t'encourage à aller voir le début de ce bouquin :
Une introduction à la dynamique des fluides, Michel Rieutord chez Masson.
tu y as une belle présentation du lien entre équations de NS et conservation de l'impulsion (car c'est rien de plus) ainsi qu'avec la conservation de l'énergie et les autres copains (entropie, etc)
m'enfin dans divers autres bouquins d'hydro tu devrais trouver une dérivation des équations de NS...
Pour compléter les définitions de Wlad_von_tokyo, on dit qu'un fluide dont div(v) (la divergence de la vitesse) est nul est un fluide incompressible, c'est à dire que la densité ne varie pas.
En revanche, que signifie le rotationnel ? Est ce que ça représente le taux de rotation du champ vectoriel, de la vitesse par exemple (that shows a vector field's rate of rotation) ? Je préfère qu'on me confirme ça en français...
Dans l'exemple de Wlad_von_Tokyo, on donne : a vector field showing wind velocities would have a non-zero curl at the eye dans une tornade. Cependant, il paraît que les vents sont nuls dans l'oeil d'un cyclone. Pourquoi peut on dire alors que le rotationnel de la vitesse y est non nul ?
pour le rotationnel et les autres trucs y'a aussi ce site
En méca des fluides, il y a une facon plus simple de voir la divergence et le rotationnel du champ de vitesse, non ?
Il me semble que l'on peut relier :
- div(v) au taux de variation relative du volume d'une particule de fluide par
- rot(v) au vecteur tourbillon par
Par contre, pour l'électromagnétisme, difficile d'expliquer div et rot "avec les mains" comme le voulait Rafiti
P.S : j'espere que vous voyez les formules en TEX, parce que chez moi ca marche pas (un joli p'tit carré blanc avec une croix rouge à la place de ma zoli formule)
