bonjour
bon voila j'ai petit probleme avec un exercice sur les complexes
soit U un cercle de centre O et de rayon 1
soit x =/= i (=/= pour different)
montrer que (1+ix)/(1-ix) € U <==> x € R (€ = appartient)
je sais pas du tout comment faire...
merci d'avance
lyre
Bonjour,
Ça veut dire quoi pour un complexe Z d'être sur le cercle de centre O et de rayon 1 ? Connais-tu la représentation trigonométrique d'un complexe ?
oui je sais ce que c'est ^^ merci je vais chercher de ce coté la
Cette voie marche peut-être mais est inutilement calculatoire.
Pour un complexe z être dans U est équivalent à lxl=1 autrement dit
Pour un complexe x être réel équivaut à
Ces deux caractérisations permettent de se soulager en calcul.
oki merci beaucoup pour ces indications ^^
(1+ix)/(1-ix) = (1-x²+2ix)/(1+x²) = (1-x²)/(1+x²) + i(2x)/(1+x²)
or cos(o)=(1-x²)/(1+x²) et sin(o)=(2x)/(1+x²)
d'ou (1+ix)/(1-ix) = cos(o)+isin(o) = e^ix
je pense pas que ca marche parcequ'il est precisé que ces deux formules marche pour x=tan(o/2)
mais je vois rien d'autre donc...
et si tu calculais plutôt comme suggéré plus haut :
==>
==> 1
or on sait que Z appartient a U si
c'est tout??
Non car en toute généralitéEnvoyé par lyre
Ce que tu as fait n'est pas inutile, mais doit être repris ainsi :
Soit x réel, on a
Donc si x est réel (1+ix)/(1-ix) appartient à U. Je me suis permis de virer les => intempestifs ici)
=
= 1
or on sait que Z appartient a U si
Maintenant, il faut montrer l'autre implication
1ère méthode :
Soit x complexe tel que
Or,
D'où
On manipule un peu et on aboutit à
2ème méthode pour info (plus élégante mais demandant plus de théorie préalable) :
x->(1+ix)/(1-ix) est une homographie qui envoie la droite réelle sur le cercle U donc l'image réciproque de U est R ce qui montre l'autre implication.
a oui c'est vrai que j'ai oublié la possibilité que x ne soit pas reel ^^
merci beaucoup
