nb complexe

[invite9578a63f]

je ne parviens pas a prouver que z*z(une barre au dessus de ce z)=valeur absolue de z
-----

[yat]

disons que z=a+bi et zbarre=a-bi. Si tu fais la multiplication, ça devrait devenir évident.

[olle]

c'est en fait égal à la valeur absolue au carré.

[Quinto]

Et puis c'est la définition en fait je dirais... non? La définition de la valeur absolue complexe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Et puis c'est la définition en fait je dirais... non? La définition de la valeur absolue complexe.

Ta remarque est judicieuse car certaines normes sont inspirées de cette relation (bien qu'en terminale, la définition soit simplement la norme euclidienne sur R²). Tout le problème est d'avoir une "conjugaison". Par exemple sur , .

[invite1c6e02b6]

je pense qu'on ne parle pas de valeur absolue d'un complexe, mais de module.
de plus, le module de z est alors égal au carré de Z*(conjugue de Z)

[martini_bird]

Très juste, Pénélope.

[Quinto]

Martini_bird:
Lorsque l'on a une extension de corps K, on peut toujours trouver une telle norme pour un élément x non?

Celle ci étant le produit des racines du polynôme minimal de x je pense...

[invite8f53295a]

Celle ci étant le produit des racines du polynôme minimal de x je pense...

Ben ça dépend, si ta norme dépend uniquement de l'extension de corps, ça sera un produit de conjugués de x, mais pas forcément racines du polynôme minimal. Par exemple sur Q(sqrt(2)) la norme est N(a+b sqrt(2))=a²-2b², et donc N(a)=a² pour a rationnel alors que le polynôme minimal de a est X-a...
Il faut regarder tous les morphismes de K dans une clôture algébrique de K et regarder leur produit (on se place ne caractéristique 0 quand même...)

[Quinto]

Salut,
pourquoi la caracteristique 0 est importante?

[martini_bird]

Salut,
pourquoi la caracteristique 0 est importante?

Il y aura des problèmes de "séparabilité"... mais je suis pas sûr que ça t'avances à quelque chose!

Je tâcherai de détailler un peu plus tard.

[invite8f53295a]

Salut,
pourquoi la caracteristique 0 est importante?

Oui c'est ça la séparabilité. L'idée générale est que si tu considère K un corps et L une extension de K. Tu peux voir L comme K-espace vectoriel. Ensuite si a est un élément de L, la multiplication par a te donne un endomorphisme K-linéaire de L. Dans les cas habituels (extensions de Q, caractéristique 0 etc.), tu peux remarquer que le déterminant de cette application (comme K-linéaire) est justement la norme de a. C'est cette définition de la norme qu'on considère comme générale (de façon à ce que si [L:K]=d, et a est dans K, N(a)=a^d). Cependant si L ne possède pas assez de morphismes (ou plongements) dans une clôture algébrique de K, cetee définition ne coïncide pas avec le produit des conjugués de a (justement parcequ'il n'y a pas assez de conjugués. Quand il y a justement exactement d tels plongements on dit que l'extension est séparable. C'est toujours le cas en caractéristique 0, c'est pour cela que j'ai fait cette restriction.
Si ça t'intéresse un cas non séparable, tu peux toujours méditer en considérant K=F_p[X] et L=F_p[X^(1/p)], F_p étant ici le corps fini à p éléments.

[invite206bb45f]

Oui c'est ça la séparabilité. L'idée générale est que si tu considère K un corps et L une extension de K. Tu peux voir L comme K-espace vectoriel. Ensuite si a est un élément de L, la multiplication par a te donne un endomorphisme K-linéaire de L. Dans les cas habituels (extensions de Q, caractéristique 0 etc.), tu peux remarquer que le déterminant de cette application (comme K-linéaire) est justement la norme de a. C'est cette définition de la norme qu'on considère comme générale (de façon à ce que si [L:K]=d, et a est dans K, N(a)=a^d). Cependant si L ne possède pas assez de morphismes (ou plongements) dans une clôture algébrique de K, cetee définition ne coïncide pas avec le produit des conjugués de a (justement parcequ'il n'y a pas assez de conjugués. Quand il y a justement exactement d tels plongements on dit que l'extension est séparable. C'est toujours le cas en caractéristique 0, c'est pour cela que j'ai fait cette restriction.
Si ça t'intéresse un cas non séparable, tu peux toujours méditer en considérant K=F_p[X] et L=F_p[X^(1/p)], F_p étant ici le corps fini à p éléments.

Je crois me souvenir que pour les corps finis tout ca marche aussi bien qu'en caracteristique 0. C'est quand meme un exemple important...

[invite8f53295a]

Oui pour les corps finis aussi ça marche, pour les corps dits parfaits en général, on n'a pas à se poser de question. D'ailleurs dans mon contre exemple à la fin, il y a une erreur, c'est F_p(X) qu'il faut lire, l'autre n'est bien sûr pas un corps...