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endomorphismes f verifiant Kerf=Imf (concours national deug 2003 maths partie1 exo 2)



  1. #1
    cappadocien

    endomorphismes f verifiant Kerf=Imf (concours national deug 2003 maths partie1 exo 2)


    ------

    bonjour
    je suis etudiant en 2eme année de license de maths et g un pb


    je seche completement sur ce sujet (l'algebre n'a jamais ete mon fort). pouvez vous me donnez un site sur lequel je pourrais trouver des indiquations de reponses ou bien quelques infos



    voici l'adresse du sujet
    http://ccp.scei-concours.org/deug/ca...ral_sujets.htm

    -> sujet ->2003 ->maths partie 1 ->c l'exo 2



    merci d'avance

    -----

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  4. #2
    martini_bird

    Re : endomorphismes f verifiant Kerf=Imf (concours national deug 2003 maths partie1 exo 2)

    Salut,

    voilà quelques indications:

    1a) c'est une question de dimension: dim Ker(f)+dim Im(f) =dim E; puis le rang de f est la dimension de l'image...

    1b) 2a) Ecrire les définition d'un élément image par f et d'un élément dans le noyau

    Voili, si tu bloques, n'hésite pas à demander.

  5. #3
    Stephen

    Re : endomorphismes f verifiant Kerf=Imf (concours national deug 2003 maths partie1 e

    Bonjour,

    Je ne suis pas sûr de tout trouver, mais on peut essayer- Tout d'abord, on va travailler matriciellement (je suppose la dimension finie), ce qui signifie que l'on va travailler à équivalence de matrices près. Je prends les changements de base à coefficients complexes, parce que je veux mes matrices triangularisables.

    L'endormorphisme nul vérifie cette propriété. On considère maintenant des endormorphismes non nuls. Puisque l'image est dans le noyau, la matrice associée est 2-nilpotente (son carré est nul). A changement de base près, elle est donc une matrice triangulaire supérieure dont seul le terme en haut à droite est non nul.

    Maintenant, il faut utilise l'autre inclusion. Ce n'est pas évident d'en tirer quelque chose, mais je vais y réfléchir. Je serai loin de ma machine pour quelques jours malheureusement, si je trouve la réponse tu ne pourras pas l'avoir de suite...

    Edition : lire le sujet m'aurait éviter de foncer bille en tête Piste de Martini
    Dernière modification par Stephen ; 21/10/2004 à 12h28.

  6. #4
    penelope

    Re : endomorphismes f verifiant Kerf=Imf (concours national deug 2003 maths partie1 exo 2)

    bonjour, quelques indics :
    1-a, cf les indications de Martini Bird..

    1-b, pour tout x de E, f(x) appartient à Im(f), donc...( utilise tes hypotheses..)

    2-a je rappelle :
    "a" appartient à Im(f) ssi il existe "b" appartenant à E tq a=f(x)
    "c" appartient à Ker(f) ssi f(c)=0
    pour montrer Im(f) inclus dans Ker(f), on prend un element quelconque de Im(f) et on montre qu'il appartient à Ker(f)..

    2-b connaissant le rg de f, on connait la dim de Im(f), et avec le theor du rang, la dim de Ker(f)..

    3- idem 2-a

    4- on a n vecteurs, reste à montrer que la famille est libre :
    prend une combinaison lineaire nulle, puis en composant par f, montre que tous les coeffs sont nuls

    4-b on a la dim de Im(f). montre que les vecteurs sont libres.(on peut raisonner par l'absurde, et utiliser le 4a..)

    4-c utiliser Im(f)=Ker(f)

    4-d idem 4-a

    c application...

    bon courage

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    cappadocien

    Re : endomorphismes f verifiant Kerf=Imf (concours national deug 2003 maths partie1 exo 2)

    merci bcp pour vos indiquations

    je doute de quelque reponse vs pouvez me dire si ca se tient


    A 1 b) (fof)(x)=f(f(x))=f(X)
    f(x)€Im f et Im f = Ker f dc X=f(x)€ Ker f
    f(X)=0 car X€Ker f
    cad (fof)(x)=0



    A 2 a) f€Im f
    or on a f(f(x))=0 <=>f(X)=0 avec X=f(x) or Ker f={x€E tq f(x)=0}
    dc f(x)€ Kerf
    on a f(x)€Im f et f(x)€Ker f d'ou Im f C Ker f



    B 4 a) Kerf=Imf=f(E) dim E=n=2p
    (e1,...,ep) base de F dc libre ds F C E dim F=p<n
    (e'1,...,e'p) base de Kerf dc libre dim Kerf=p p<n
    TH DE LA BASE INCOMPLETE:
    la reunion de ces deux bases forment dc une base de E
    la famille (e1,...,ep,e'1,...,e'p) est dc libre




    B 4 c) ep+i=f(ei)
    on compose par f f(ep+i)=f(f(ei))
    or ei€F et F C E dc ei€E
    =>f(f(ei))=fof(ei)=0 vu A2)
    =>f(ep+i)=0





    par contre g tjs des pb pour les questions 4b) 4d)(matrice de f) et 5 6 7




    merci d'avance

  9. #6
    penelope

    Re : endomorphismes f verifiant Kerf=Imf (concours national deug 2003 maths partie1 exo 2)

    désolée..ma reponse est sans doute tardive, mais je me suis absentée une semaine...

    en reponse donc à ton mail, voici ce que j'en pense :

    A)1)b) OK

    A)2)a) je suppose que tu parles de f(x) et non pas de f..
    c'est bon, juste la rédaction de la conclusion qui cloche :
    f(x)appartient à ker(f) et f(x) appartient à im(f) te permet de conclure que f(x) appartient à ker(f) inter Im(f).
    ce que tu as montré, c'est que :
    tout élément de ker(f) est dans Im(f) ( d'ou l'inclusion..)

    B)4)a) tout depend des theor que tu as à ta disposition (par exemple si A et B sont supplementaires dans E, alors la reunion d'une base de A et d'une base de B est une base de E )
    pour moi le theor de la base incomplete, c'est autre chose : toute famille libre de E peut etre completee pour obtenir une base de E.
    mais pour ce qui concerne ton raisonnement, la reunion de deux familles libres de E n'est pas forcement une famille libre de E...
    je reprend donc la reunion de tes deux bases : tu as une famille de 2p=n elements de E avec dim(E)=n..reste à montrer qu'elle est libre. On prend donc une cl de ces n vecteurs supposee nulle. compose alors par f et regarde ce qui se passe..( tu devrais trouver un element de Ker(f) inter F et conclure..)

    B)4)c)OK

    pour la 4)b) tu as presque toutes les infos : dim(im(f))=p, et ta famille contient p elements de im(f). reste à montrer qu'elle est libre, ou qu'elle est generatrice de Im(f), tu as le choix.. ( pour libre, repart comme dans la question precedente..si tu choisis generatrice, utilise : si une famille est generatrice de E ( cf 4)a) ), alors son image est generatrice de f(E)=im(f) )

    a)d) il suffit de savoir construire une matrice d'application lineaire dans une base B : on rentre à la verticale les coordonnées des vecteurs f(bi) dans la base B ( on place souvent pour aider les f(bi) en haut et les (bi) sur le cote droit ) or ici c'est simple, tu connais tous les f(bi)...

    le c est tres classique ( à savoir maitriser..)
    u appartient à ker(f) ssi f(u)=o, ssi AU=0 en matriciel..reste à résoudre le système obtenu et déterminer une base.
    (e1,e2,e3,e4) etant generatrice de E, (f(e1),...,f(e4)) est generatrice de Im(f)=f(E)..reste à verifier si cette famille est libre et sinon éliminer des vecteurs cl des autres..
    A² est la matrice de fof...repense à ce que tu as fait dans les parties precedentes..

    6) part d'une base de ker(f), qui est aussi une base de Im(f) et utilise cette fois ci le theor de la base incomplete..en plaçant bien tes vecteurs, tu devrais construire une matrice triangulaire.

    7) une base de Ker(f), tu as dejà, essaie de completer avec des vecteurs de la base canonique..

    je te conseille de revoir :
    la construction d'une matrice d'application lineaire dans une base donnee
    la recherche d'une base de ker(f) et d'une base de im(f) quand on a la matrice de l'AL.
    bon courage pour la suite

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