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Courbe paramétrée polaire - Intervalle



  1. #1
    PeeLoo

    Question Courbe paramétrée polaire - Intervalle


    ------

    Bonjour bonjour !

    J'ai un gros probleme pour les courbes parametrées en polaire.
    Je n'arrive jamais à trouver l'intervalle d'étude.
    Par exemple pour :
    1/[(cos ((teta)/3)^3°
    Je sais qu'il faut prendre l'intervalle [0,3pi] (periodique 2pi) mais on peut encore le reduire non ?
    >_<

    bref merci d'avance de bien vouloir me repondre

    -----

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  4. #2
    martini_bird

    Re : Courbe paramétrée polaire - Intervalle

    Salut,

    la démarche est la même qu'en coordonnées cartésiennes: quel est l'ensemble de définition? La courbe présente-t-elle des symétries? La fonction est-elle périodique?

    Pour ton exemple r=1/[ cos(theta/3) ]^3, r n'est pas défini pour les valeurs de theta annulant cos(theta/3)... Tu peux voir ensuite que la fonction est paire et 6Pi-périodique. Tu peux donc prendre l'intervalle [0, 3Pi[ privé de 3Pi/2 comme intervalle d'étude. Le problème est déjà bien simplifié!

    Pour continuer, il faudrait remarquer que cos(Pi-x)=-cos(x): ainsi il est possible de se restreindre à ]0, 3Pi/2[.

  5. #3
    PeeLoo

    Re : Courbe paramétrée polaire - Intervalle

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,

    Pour continuer, il faudrait remarquer que cos(Pi-x)=-cos(x): ainsi il est possible de se restreindre à ]0, 3Pi/2[.
    pourquoi on peut restreindre sur cet intervalle ?
    Je n'arrive pas a le voir graphiquement >_<

  6. #4
    martini_bird

    Re : Courbe paramétrée polaire - Intervalle

    Si tu considères la fonction cosinus sur [0, Pi], tu peux remarquer que le point (Pi/2, 0) est centre de symétrie...

    En d'autres termes: cos(Pi/2+x)=-cos(Pi/2-x).

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  8. #5
    cindy06

    Re : Courbe paramétrée polaire - Intervalle

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,

    Pour continuer, il faudrait remarquer que cos(Pi-x)=-cos(x): ainsi il est possible de se restreindre à ]0, 3Pi/2[.

    bonjour j'ai le meme exo à faire.quand on chercher les symétries on a :
    p(-teta)=p(teta)dc symétrie par rapport à Ox et on peut couper l'intervalle en 0.
    p(pi-teta)=-p(teta) dc symétrie par rapport à Ox et on peut couper l'intervallle en pi/2.
    p(pi+teta)=-p(teta) dc la courbe est parcourue plusieurs fois et on peut prendre un intervalle de largeur pi.

    donc pour l'intervalle détude on réduit à un intervalle de largeur pi, puis on coupe en pi/2 puis en 0????

  9. #6
    martini_bird

    Re : Courbe paramétrée polaire - Intervalle

    Citation Envoyé par cindy06
    p(-teta)=p(teta)dc symétrie par rapport à Ox et on peut couper l'intervalle en 0.
    p(pi-teta)=-p(teta) dc symétrie par rapport à Ox et on peut couper l'intervallle en pi/2.
    p(pi+teta)=-p(teta) dc la courbe est parcourue plusieurs fois et on peut prendre un intervalle de largeur pi.

    donc pour l'intervalle détude on réduit à un intervalle de largeur pi, puis on coupe en pi/2 puis en 0????
    J'écrirais les chose ainsi:
    : p est 2Pi-périodique donc on prend un intervalle de longueur 2Pi.

    : p est impaire donc il est judicieux de considérer l'intervalle ]-Pi; Pi] ci-dessus de manière à se restreindre à [0;Pi]

    : sur l'intervalle [0; Pi], p présente une symétrie d'origine (Pi/2; 0) donc on considère l'intervalle [0; Pi/2] comme intervalle d'étude.

    Voilà: il vaut mieux commencer par se donner un intervalle de longueur la période, le centrer en 0 (parité de p) et le réduire si d'autres symétries interviennent. Bon, c'est mon point de vue...

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  11. #7
    cindy06

    Re : Courbe paramétrée polaire - Intervalle

    mais dans le cas r(teta)=1/(cos(teta/3))^3 on a un périodicité de 6pi et quand on fait les symétries que j'ai écrit dans mon message précédent, on doit alors dabord réduire l'intervalle à pi, puis on le coupe en 0 puis en pi/2 donc on arrive à un intervalle [0,pi/2] non???

  12. #8
    martini_bird

    Re : Courbe paramétrée polaire - Intervalle

    Citation Envoyé par cindy06
    mais dans le cas r(teta)=1/(cos(teta/3))^3 on a un périodicité de 6pi et quand on fait les symétries que j'ai écrit dans mon message précédent, on doit alors dabord réduire l'intervalle à pi, puis on le coupe en 0 puis en pi/2 donc on arrive à un intervalle [0,pi/2] non???
    r est 6Pi-périodique et paire: tu peux donc te restreindre à l'intervalle [0, 3Pi].

    Maintenant r(3Pi-x)=-r(x) (pourquoi?) donc sur l'intervalle [0; 3Pi], on une symétrie de centre ...? ce qui fait que l'on peut couper en...

  13. #9
    PeeLoo

    Re : Courbe paramétrée polaire - Intervalle

    Citation Envoyé par martini_bird
    r est 6Pi-périodique et paire: tu peux donc te restreindre à l'intervalle [0, 3Pi].

    Maintenant r(3Pi-x)=-r(x) (pourquoi?) donc sur l'intervalle [0; 3Pi], on une symétrie de centre ...? ce qui fait que l'on peut couper en...
    justement c'est ca que je ne comprend pas pourquoi faut ils calculer
    r(3Pi-x)=-r(x) ?

  14. #10
    martini_bird

    Re : Courbe paramétrée polaire - Intervalle

    Salut,

    le fait que l'on ait cos(3x) au lieu de cos(x) "dilate" la fonction: au lieu d'être 2Pi périodique, elle est 6Pi-périodique, etc. Mais dans l'essence, elle vérifie les mêmes propriétés (sauf qu'il faut faire intervenir le facteur 3)...

    Bon, c'est pas très clair: je te propose de représenter graphiquement les fonctions f(x)=cos(x) et g(x)=cos(3x) sur [0, 6Pi] par exemple.

    f(Pi-x)=-f(x) signifie que sur [0, Pi], on une symétrie centrale de centre (Pi/2;0). Maintenant, quelle est la symétrie analogue pour g?

  15. #11
    PeeLoo

    Re : Courbe paramétrée polaire - Intervalle

    Citation Envoyé par martini_bird

    f(Pi-x)=-f(x) signifie que sur [0, Pi], on une symétrie centrale de centre (Pi/2;0). Maintenant, quelle est la symétrie analogue pour g?
    et bien on a une symetrie centrale de centre (3pi/2;0) ?
    mais il y a qque chose qui me chiffone je vois pas le raport avec la courbe parametrée ...
    desolé si je suis un peu lente ...

  16. #12
    PeeLoo

    Re : Courbe paramétrée polaire - Intervalle

    personne ne repond
    rohhh
    =(

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  18. #13
    martini_bird

    Re : Courbe paramétrée polaire - Intervalle

    Citation Envoyé par PeeLoo
    et bien on a une symetrie centrale de centre (3pi/2;0) ?
    mais il y a qque chose qui me chiffone je vois pas le raport avec la courbe parametrée ...
    desolé si je suis un peu lente ...
    Salut,

    je te propose d'étudier la courbe dont la représentation paramétrique est donnée par x=cos a, y=sin a, a réel. Le cosinus et le sinus sont tous les deux 2Pi-périodique: quel est l'intérêt de considérer [-Pi; Pi] (ou [0; 2Pi) ou [54Pi; 56Pi]) comme intervalle d'étude?

  19. #14
    PeeLoo

    Re : Courbe paramétrée polaire - Intervalle

    ah oui d'accord je comprend pourquoi il faut reduire l'intervalle qund c'est periodique de 2pi 3pi 6 pi etc...
    mais ce que je ne comprend pas c'est lorsque le prof prend la borne exterieur pour faire :
    r(borne ext -teta)
    pour ensuite reduire l'intervalle
    et graphiquement j'ai du mal a visualiser ca =//

  20. #15
    martini_bird

    Re : Courbe paramétrée polaire - Intervalle

    J'ai pas tout compris...

    Quand une fonction est périodique, grosso modo on repasse pas le même chemin. Quand une fonction est symétrique, grosso modo la courbe présente une symétrie. Quand on a les deux, bingo, ça fait un exercice!

  21. #16
    PeeLoo

    Re : Courbe paramétrée polaire - Intervalle

    lol moi non plus je n'ai pas trop compris le raisonnement de mon prof =//

    si je reprend tout :

    1) on a une fonction periodique de 6pi dc etude sur [-3pi;3pi] privée de 3pi/2
    2) or r(-teta) = - r(teta) la fonction est donc paire on etudie donc sur [0;3pi]
    3) et c'est la que je bloque je ne comprend pourquoi mon prof fait :
    r(borne exterieur-teta)
    pour ensuite diviser l'intervalle par deux ?
    (avec mon exemple r(3pi-teta)= -r(teta) donc etude sur [0;3pi/2] ?)

    donc voili voilou j'espere que j'ai été plus claire lol =)

  22. #17
    martini_bird

    Re : Courbe paramétrée polaire - Intervalle

    D'accord,

    tu ne reconnais pas la symétrie dans l'écriture algébrique de r fonction de theta... je vais essayer de préciser un petit peu

    Reprenons l'égalité (*) r(3pi-teta)= -r(teta).

    Si tu calcules r(0), grâce à (*), r(3Pi-0)=-r(0) et r(3Pi)=-r(0);
    Si tu connais r(0.1) tu peux calculer r(3Pi-0.1);
    Si tu connais r(0.2) tu peux calculer r(3Pi-0.2);
    ...
    Si tu connais r(Pi/2) tu peux calculer r(5Pi/2);
    Si tu connais r(Pi) tu peux calculer r(2Pi);
    etc.

    En fait, si tu connais les valeurs de r(theta) pour 0<theta<3Pi/2,
    tu connais les valeurs de r(3Pi-theta) donc les valeurs de r(theta') pour 3Pi/2<theta'<3Pi avec theta'=3Pi-theta... C'est plus clair?

  23. #18
    PeeLoo

    Re : Courbe paramétrée polaire - Intervalle

    Citation Envoyé par martini_bird
    D'accord,

    tu ne reconnais pas la symétrie dans l'écriture algébrique de r fonction de theta... je vais essayer de préciser un petit peu


    En fait, si tu connais les valeurs de r(theta) pour 0<theta<3Pi/2,
    tu connais les valeurs de r(3Pi-theta) donc les valeurs de r(theta') pour 3Pi/2<theta'<3Pi avec theta'=3Pi-theta... C'est plus clair?
    ah d'accord ! d'ou l'interêt de diviser l'intervalle en deux puisque lorsque teta parcourt [0;3pi/2], (3pi-teta) parcourt [0;3pi/2] ?

    et c'est de la qu'on en deduit qu'il y a une symetrie?

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  25. #19
    martini_bird

    Re : Courbe paramétrée polaire - Intervalle

    Oui, car on a r(theta')=-r(theta).

  26. #20
    cartman

    Re : Courbe paramétrée polaire - Intervalle

    Je fait mon entrée fracassante, pusique je suis aussi dans les courbes paramtrées planes en ce moment, et y'en a un bout sur les équation polaire.
    Bon alors d'abord je vais faire mon emm...bêtant : j'ai relevée une petite faute, cos(3x) n'est pas 6pi-périodique, mais 2pi/3 périodique, c'est cos (x/3), qui est 6pi périodique. Enfin bon rien de grave.
    Ensuite (c'était surtout le principale but de ce post), petite astuce, dans notre cours on a tracé un cercle trigo, ensuite tu y place un angle theta (pas trop grand). efnin tu place les angles (pi/2-theta), (pi/2+theta), (pi-theta), (pi+theta), (-pi/2-theta) , (-pi/2+theta) et enfin -theta. C'est mong à écrire mais tout bête à faire.
    Une fois ceci fait tu regarde quelle symétrie il y a lorque r(thetha)=-r(theta), r(pi/2+theta)=-r(theta) etc... et tu réduit les intervalles en fonctions. Ca te fait un super tableau récapitulatif, assez intuitif, qui marche partout, même pour les courbes pas intuitives du tout.
    Voili voilou, c'était l'astuce de sioux du jour (merci le prof!) et surout n'oublie pas les coeff à l'interieur des cos et des sin !!!

  27. #21
    PeeLoo

    Re : Courbe paramétrée polaire - Intervalle

    Bonsoir !

    Merci Martini_bird pr ton aide =) (et surtout pour ta patience loool)
    j'ai refait quelques courbes et je pense que ca va aller =)

    et merci Cartman pour ton astuce c'est sympa =)

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