Courbe paramétrée

invited00ee48c · 29/12/2006, 14h44

Bonjour,
j'ai un petit soucis sur cette exercice :
$\text{[math]}$ est la courbe paramétré représenté par :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

1/ La droite d'équation $\text{[math]}$ est elle une tangente a la courbe ?

Si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$

On a donc $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Comment trouve t on la tangente de manière générale ?

invite4ef352d8 · 29/12/2006, 14h55

Salut !

maintenant que tu a trouvé le point d'intersection il faut regarder l'equation de la tangeante a la courbe passant par ce point (soit en faisant un dévelopement limité, soit avec la formule avec x' et y' ) et voir si oui ou non cette tangeant est la droite d'equation x=0.

une autre methode (qui marche surtous dans le cas de parametrage par des fraction rationelle) c'est de regarder si l'equation qui determine les point d'intersection a des racines simple ou des racine double (racine simple = pts d'intersection, racine double ou d'ordre supérieur = point de tangeance )

invited00ee48c · 29/12/2006, 15h02

Envoyé par Ksilver

maintenant que tu a trouvé le point d'intersection il faut regarder l'equation de la tangeante a la courbe passant par ce point (soit en faisant un dévelopement limité, soit avec la formule avec x' et y' ) et voir si oui ou non cette tangeant est la droite d'equation x=0.

Donc on cherche l'équation de la tangente au point $\text{[math]}$ : comment faire ?

inviteaf1870ed · 29/12/2006, 15h12

Il suffit de regarder le coefficient directeur de la tangente. Tu dois connaître la formule qui te donne le coefficient directeur en fonction de dx/dt et dy/dt ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invited00ee48c · 29/12/2006, 15h16

Les formules que je connais c'est par exemple la tangente en $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

c'est cela?

inviteaf1870ed · 29/12/2006, 15h29

Ici tu as une courbe paramétrée, tu dois trouver dans ton cours les informations sur la tangente à ces courbes, et en particulier sur le coefficient directeur.

De plus dans ton cas, il y a une subtilité : regarde le comportement de ta courbe quand t tend vers + infini

invited00ee48c · 29/12/2006, 15h31

On calcule y'/x' ?
Je ne connais pas les différents cas : par exemple ici on trouve :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

donc le coefficient directeur est 3 ?

inviteaf1870ed · 29/12/2006, 15h35

Oui c'est bien cela, donc au point où t=-1 la tangente n'est pas verticale.
Cependant tu devrais regarder le point où t tend vers + infini (et -infini d'ailleurs).

invited00ee48c · 29/12/2006, 15h36

dans quels cas a t on une tangente verticale ? horizontale ? autres ?

inviteaf1870ed · 29/12/2006, 16h31

C'est quoi le coefficient directeur d'une tangente pour toi ?

invited00ee48c · 29/12/2006, 16h38

C'est la pente de la tangente non ?

inviteaf1870ed · 29/12/2006, 16h40

Oui, donc une tangente
-Horizontale a une pente égale à ?
-Verticale a une pente égale à ?

invited00ee48c · 29/12/2006, 16h42

Envoyé par ericcc

Oui, donc une tangente
-Horizontale a une pente égale à ?
-Verticale a une pente égale à ?

la pente est nulle dans les deux cas non?

inviteaf1870ed · 29/12/2006, 16h56

Dans le cas d'une tangente horizontale la pente est nulle, mais elle est infinie dans le cas d'une tangente verticale.

invited00ee48c · 29/12/2006, 17h01

La pente est bien donné par y/x non ?

inviteaf1870ed · 29/12/2006, 17h18

NON !
Par y'/x' dans le cas d'une courbe paramétrée, et par f'(x) dans le cas d'une courbe de la forme y=f(x).
Exemple : quelle est la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction y=racine(x) en 0?

invited00ee48c · 29/12/2006, 17h24

la tangente a la courbe $\text{[math]}$ est en fait une demi-tangente non ? d'équation $\text{[math]}$ , sa pente est infini car $\text{[math]}$ ?

inviteaf1870ed · 29/12/2006, 17h28

Presque : f'(x) = 1/2racine(x), donc f'(x) n'existe pas pour x = 0. Cependant f'(x) tend vers +infini quand x tend vers 0.
La tangente à la courbe est donc verticale en 0.

Dans le cas de ta courbe paramétrée, le point (0,0) n'est pas atteint mais est la limite de x(t) et de y(t) pour t tendant vers +infini.

Regarde ce qu'il advient de y'/x' ?

invited00ee48c · 29/12/2006, 17h40

En fait ce que je voudrais savoir c'est :
dans les courbes paramétrées, comment traiter les tangentes ?

On se ramène toujours au calcul de y'/x' ?
si y'=0 et que x' différent de 0
si x'=0 et que y' différent de 0
si x'=y'=0
si x' différent de 0 et y' différent de 0

je crois qu'il y a tous les cas,
c'est cela ou pas ?

inviteaf1870ed · 29/12/2006, 17h48

Oui c'est cela. Attention quand x'=y'=0 tu as une forme indéterminée, il faut regarder de plus près.

invited00ee48c · 29/12/2006, 17h56

si y'=0 et que x' différent de 0 alors on a une tangente horizontale

si x'=0 et que y' différent de 0 alors on a une tangente verticale

si x' différent de 0 et y' différent de 0 alors on a le coefficient directeur y'/x' de la tangente

si x'=y'=0 ???

inviteaf1870ed · 29/12/2006, 18h15

Envoyé par Kazik

si x'=y'=0 ???

On a une forme indéterminée et il faut trouver sa limite.

Par exemple :
y=t³+t² y'=3t²+2t
x=t²+1 x'=2t

On a bien pour t=0, y'=x'=0, mais y'/x'=3t/2+1, donc la pente de la tangente au point t=0 est 1.

invited00ee48c · 29/12/2006, 18h30

Ok, merci.
Donc au début x=0 n'est pas une tangente ?
On me demande de trouver les eventuelles branches infinies donc j'ai fait le tableau de variation :

mais comment conclure sur les branches infinies ?

Courbe paramétrée