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Courbe paramétrée



  1. #1
    Kazik

    Courbe paramétrée


    ------

    Bonjour,
    j'ai un petit soucis sur cette exercice :
    est la courbe paramétré représenté par :



    1/ La droite d'équation est elle une tangente a la courbe ?

    Si alors d'où

    On a donc , et .
    Comment trouve t on la tangente de manière générale ?

    -----

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  4. #2
    Ksilver

    Re : Courbe paramétrée

    Salut !


    maintenant que tu a trouvé le point d'intersection il faut regarder l'equation de la tangeante a la courbe passant par ce point (soit en faisant un dévelopement limité, soit avec la formule avec x' et y' ) et voir si oui ou non cette tangeant est la droite d'equation x=0.


    une autre methode (qui marche surtous dans le cas de parametrage par des fraction rationelle) c'est de regarder si l'equation qui determine les point d'intersection a des racines simple ou des racine double (racine simple = pts d'intersection, racine double ou d'ordre supérieur = point de tangeance )

  5. #3
    Kazik

    Re : Courbe paramétrée

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    maintenant que tu a trouvé le point d'intersection il faut regarder l'equation de la tangeante a la courbe passant par ce point (soit en faisant un dévelopement limité, soit avec la formule avec x' et y' ) et voir si oui ou non cette tangeant est la droite d'equation x=0.
    Donc on cherche l'équation de la tangente au point : comment faire ?

  6. #4
    ericcc

    Re : Courbe paramétrée

    Il suffit de regarder le coefficient directeur de la tangente. Tu dois connaître la formule qui te donne le coefficient directeur en fonction de dx/dt et dy/dt ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Kazik

    Re : Courbe paramétrée

    Les formules que je connais c'est par exemple la tangente en ,

    c'est cela?

  9. #6
    ericcc

    Re : Courbe paramétrée

    Ici tu as une courbe paramétrée, tu dois trouver dans ton cours les informations sur la tangente à ces courbes, et en particulier sur le coefficient directeur.

    De plus dans ton cas, il y a une subtilité : regarde le comportement de ta courbe quand t tend vers + infini

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  11. #7
    Kazik

    Re : Courbe paramétrée

    On calcule y'/x' ?
    Je ne connais pas les différents cas : par exemple ici on trouve :



    donc le coefficient directeur est 3 ?

  12. #8
    ericcc

    Re : Courbe paramétrée

    Oui c'est bien cela, donc au point où t=-1 la tangente n'est pas verticale.
    Cependant tu devrais regarder le point où t tend vers + infini (et -infini d'ailleurs).

  13. #9
    Kazik

    Re : Courbe paramétrée

    dans quels cas a t on une tangente verticale ? horizontale ? autres ?

  14. #10
    ericcc

    Re : Courbe paramétrée

    C'est quoi le coefficient directeur d'une tangente pour toi ?

  15. #11
    Kazik

    Re : Courbe paramétrée

    C'est la pente de la tangente non ?

  16. #12
    ericcc

    Re : Courbe paramétrée

    Oui, donc une tangente
    -Horizontale a une pente égale à ?
    -Verticale a une pente égale à ?

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  18. #13
    Kazik

    Re : Courbe paramétrée

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Oui, donc une tangente
    -Horizontale a une pente égale à ?
    -Verticale a une pente égale à ?
    la pente est nulle dans les deux cas non?

  19. #14
    ericcc

    Re : Courbe paramétrée

    Dans le cas d'une tangente horizontale la pente est nulle, mais elle est infinie dans le cas d'une tangente verticale.

  20. #15
    Kazik

    Re : Courbe paramétrée


    La pente est bien donné par y/x non ?

  21. #16
    ericcc

    Re : Courbe paramétrée

    NON !
    Par y'/x' dans le cas d'une courbe paramétrée, et par f'(x) dans le cas d'une courbe de la forme y=f(x).
    Exemple : quelle est la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction y=racine(x) en 0?

  22. #17
    Kazik

    Re : Courbe paramétrée

    la tangente a la courbe est en fait une demi-tangente non ? d'équation , sa pente est infini car ?

  23. #18
    ericcc

    Re : Courbe paramétrée

    Presque : f'(x) = 1/2racine(x), donc f'(x) n'existe pas pour x = 0. Cependant f'(x) tend vers +infini quand x tend vers 0.
    La tangente à la courbe est donc verticale en 0.

    Dans le cas de ta courbe paramétrée, le point (0,0) n'est pas atteint mais est la limite de x(t) et de y(t) pour t tendant vers +infini.

    Regarde ce qu'il advient de y'/x' ?

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  25. #19
    Kazik

    Re : Courbe paramétrée

    En fait ce que je voudrais savoir c'est :
    dans les courbes paramétrées, comment traiter les tangentes ?

    On se ramène toujours au calcul de y'/x' ?
    si y'=0 et que x' différent de 0
    si x'=0 et que y' différent de 0
    si x'=y'=0
    si x' différent de 0 et y' différent de 0

    je crois qu'il y a tous les cas,
    c'est cela ou pas ?

  26. #20
    ericcc

    Re : Courbe paramétrée

    Oui c'est cela. Attention quand x'=y'=0 tu as une forme indéterminée, il faut regarder de plus près.

  27. #21
    Kazik

    Re : Courbe paramétrée

    si y'=0 et que x' différent de 0 alors on a une tangente horizontale

    si x'=0 et que y' différent de 0 alors on a une tangente verticale

    si x' différent de 0 et y' différent de 0 alors on a le coefficient directeur y'/x' de la tangente

    si x'=y'=0 ???

  28. #22
    ericcc

    Re : Courbe paramétrée

    Citation Envoyé par Kazik Voir le message
    si x'=y'=0 ???
    On a une forme indéterminée et il faut trouver sa limite.

    Par exemple :
    y=t3+t2 y'=3t²+2t
    x=t2+1 x'=2t

    On a bien pour t=0, y'=x'=0, mais y'/x'=3t/2+1, donc la pente de la tangente au point t=0 est 1.

  29. #23
    Kazik

    Re : Courbe paramétrée

    Ok, merci.
    Donc au début x=0 n'est pas une tangente ?
    On me demande de trouver les eventuelles branches infinies donc j'ai fait le tableau de variation :


    mais comment conclure sur les branches infinies ?

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