Approximation d'un réel par une suite

[invite0b7847b3]

Bonjour, voilà mon problème

I Le but de cet exercice est de déterminer une suite de valeurs approchées de plus en plus précises du nombre racine(2)
La partie entière de racine(2) étant 1, on pose U₀=1
Soit racine(2)=1+x
2=1+2x+x²
En négligeant x² on obtient 2=1+2x d'où x=1/2
U₁=1+1/2=3

En écrivant racine(2)=3/2+x et en appliquant le même raisonnement on obtient U₂, et ainsi de suite

1°Calculer U₂et U₃
Je crois avoir réussi, je trouve U₂=17/12 et U₃=577/408

Voila la question ou je bloque, je n'arrive pas à montrer que U_n+1=(U_n)/2))+(1/(U_n))
Je n'ai pas réussi cette question mais je n'attend pas la réponse, je veux simplement qu'on me mette sur la voix, où qu'on m'explique.
-----

[invitebb921944]

Bonjour.

Fais une récurrence.

[invite4ef352d8]

Non, ce n'est pas une récurence ! (l'hypothèse de récurence ne servira absoluement a rien )

il faut reprendre la methode precedente :

on pose
racine 2 = Un+x

donc 2= Un²+x²+2*Un*x

on suppose x petit donc on neglige le terme en x² etc... et on trouve le nouveux Un+1 !

[inviteaf1870ed]

Il suffit de traduire en équations le processus que tu décris :
Ecris racine(2) = U_n+x, élève au carré et néglige le terme en x². Tu trouves alors x en fonction de U_n
Puis U_n+1=U_n+x te donnera ta formule

[A voir en vidéo sur Futura]