Bonjour,
Je chercher à calculer ue valeur approximative de la somme :
En utilisant des intégrales.
Alors moi la seule méthode qui me soit venue à l'esprit c'est la méthode du point médian, je procède comme ça :
Puis en posant:
vu que pour la première en intégrale calculant avec la méthode du point médian sur n = 5000 rectangles j'ai :
Et je procède de même pour la seconde somme.
Pouvez-vous me dire si c'est juste ?
merci
Je viens de coder quelques lignes en C++ de manière à calculer cette somme en 1/3 de seconde et le résultat que le programme m'affiche à l'écran semble concorder avec celui qu'on obtiens en calculant l'intégrale (de l'ordre de 6,6666.105)
Mais si quelqu'un pouvais confirmer ça serait mieux (déja que je n'accorde qu'une vague confiance aux ordinateurs mais alors si en plus c'est moi qui ai programmé la machine... )
merci
Le résultat de l'intégrale est effectivement bon...
Salut,Envoyé par Bleyblue
Ca a l'air bon, mais je n'aurai pas fait comme ça.
Prends un n grand et pose
Si je ne m'abuse, c'est une somme de Rieman, et ça tend vers
Du coup, j'en déduis que
Et puis, pour n = 10000, ça doit te donner un truc du type du résultat que tu annonces.
En fait, je vais t'expliquer pourquoi je préfère cette méthode : Elle résulte de la convergence des sommes de Rieman sur un segment, quand le pas tend vers 0, et du coup, on a des estimations de convergnce (et même un développement asymtotique) en fonction des bornes des dérivées, alors que ta méthode propose un pas fixe sur un domaine qui part à l'infini, et, là, je ne connais pas trop de méthode pour sortir ça, à part peut-être un changement de variable qui devrait te ramener plus ou moins à ce que j'ai fait.
Dis moi si tu es d'accord,
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rvz
Oui avec ma méthode (mes deux intégrales la) je tombe sur :
Sinon je vois +/- ce que tu veux dire en comparant les deux méthodes mais je ne comprends pas bien en quoi la tienne est préférable (si ce n'est qu'elle est bien plus élégante que la mienne
Il faut dire que je n'ai encore jamais vraiment étudier les convergences de séries (ça va venir), c'est peut être ça ...
merci
Salut,
Ba, disons qu'on sait plus de choses sur les sommes de Rieman sur un segment, et c'est plutot facile d'estimer la rapidité de la convergence et, du coup, la valeur de ton résultat. Enfin, je pense.
Par exemple, tu donnes un équivalent avec une constante, mais peut-être n'est ce pas ainsi.
On peut avoir Sn = 2/3 + k/n + o(k/n), avec k non nul, c'est à dire un dl d'ordre 1. Si c'est vrai, avec k=-1 pour fixer les idées, tu obtiens que Tn = 2/3 n^{1.5} - n^{0.5} + o ( n^{0.5}), ce qui est quand même assez précis. Et je pense que tu peux aller assez loin comme ça, en poussant ton dl de Sn le plus loins possible. Même si malheureusement je ne suis pas un expert de ces estimations "dl", je suis sûr que ça permet des considérations de ce type.
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rvz
Bonjour à vous,
Il existe une methode pour trouver la valeur d'une somme d'une fonction dont les primitives et les dérivées sont calculables. C'est la formule d'Euler-MacLaurin qui peut également servir pour calculer une intégrale à partir d'une somme.
L'inconvénient c'est qu'à partir d'un certain rang, ça diverge.
Mais en se limitant aux trois premiers termes, on arrive à
S= 2/3 n^{1.5} + 1/2( n^{0.5}) - 1/6
(l'erreur est inférieure à 0,1 pour n=10 000),
Ok merci (mais le but de l'exercice ici était de revenir à la définition d'une intégrale)
Mais c'est quand même intéressant (je devrais pas tarder à étudier les séries donc ça devrait m'être expliqué)
merci à vous trois !
Merci Zinia, je savais bien qu'une formule de ce type existait et permettait un développement asymptotique...
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rvz
Errata
Dans la formule donnée, l'intégrale part de 1 et non de zéro comme indiqué et par ailleurs, la précision obtenue avec les trois premiers termes est de 0,001 et non 0,1. (donc 9 chiffres significatifs exacts)
Bon je pense que tous aurons déjà rectifié.
