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Calcul du volume de fioul dans une cuve cylindrique



  1. #1
    Spider Bichon

    Calcul du volume de fioul dans une cuve cylindrique


    ------

    Bonjour à tous.

    Je suis un ancien élève de Prépa MT (T' pour les plus anciens) et j'ai voulu retrouver la formule pour calculer le volume de fioul qu'il me reste dans ma cuve cylindrique horizontale, mais les cours remontant à plus de 10 ans maintenant, je n'ai pas réussi.

    Si quelqu'un pouvait m'aider, cela me soulagerait grandement car je n'aime pas rester sur un échec.

    En attendant voici comment j'ai procédé (et mon erreur) :

    tout d'abord j'ai considéré un cylindre horizontal de diamètre D et de longueur L auquel j'attribu un repère orthonormal (x,y,z) dont l'origine se trouve sur le diamètre du cercle de base, l'axe z définissant la longueur du cylindre à l'horizontale, l'axe x définissant un diamètre du cercle de base à la verticale et l'axe y étant perpendiculaire à l'axe x dans le plan du cercle de base, et je cherche à calculer le volume de fioul contenu en fonction de x.

    Pour cela je défibni un élément de volume infinitésimal de volume dv=dx.dy.dz, et je calcule la triple intégrale suivante pour obtenir le volume cherché :
    V = {{{dx.dy.dz avec z variant de 0 à L, x variant de 0 à h (h étant la hauteur de fioul dans la cuve), et y variant de ymin(x) à ymax(x) en fonction de x. (désolé pour "{" mais je sais pas comment symboliser le signe d'une intégrale).

    on a immédiatement V = L {(ymax(x)-ymin(x)).dx avec ymax(x) et ymin(x) en fonction de x, et x variant de 0 à h.

    de par la symétrie de la figure on s'aperçoit que ymin = - ymax, donc on a
    V = L { 2.ymax(x).dx = 2.L { ymax(x).dx

    Il faut alors trouver la fonction ymax(x) qui décrit le demi cercle de base du cylindre (et je pense que c'est là qu'est mon erreur).
    Je choisi ymax(x) = D.sin(PI.x/D) = D.f(x) dont une intégrale de f(x) est F(x) = -D/PI.cos(PI.x/D)

    J'obtiens donc V = 2.L { D.f(x).dx avec x variant de o à h.
    D'où V = 2.L.D.[ -D/PI.cos(PI.h/D) + D/PI.cos(0) ]
    Soit V = 2.L.D²/PI.[1 - cos(PI.h/D)]

    Vérification de la formule :
    - si h = 0 (la cuve est vide), alors V = 2.L.D²/PI.[1-cos(0)] = 0 -> "ok"
    - si h = D (la cuve est pleine), alors V = 2.L.D²/PI.[1-cos(PI)]= 2.L.D²/PI -> "pas bon"

    Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    invite19431173

    Re : Calcul du volume de fioul dans une cuve cylindrique

    Salut !

    Pas de doublon, merci !

    Pour la modération.

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