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Nombres complexes !



  1. #1
    fusionfroide

    Nombres complexes !


    ------

    Bonjour,

    Voilà l'exo que j'ai eu en colle de maths mais dont j'ai oublié la solution

    ABC triangle équilatéral équivaut à a² + b² + c² = ab + ac + bc

    voilà comment j'ai fais !

    a² + b² + c² = ab + ac + bc ==> a² + b² + c² - ab - ac - bc = 0 puis je bloque

    pouvez vous m'aider s'il vous plait ?!

    -----
    Dernière modification par fusionfroide ; 08/11/2007 à 21h12.

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  3. #2
    homotopie

    Re : nombres complexes !

    0=2(a²+b²+c²-ab-bc-ca=)=a²-2ab+b² + b²-2bc+c² + c²-2ca+a²=(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²
    De même (a-b)+ (b-c)+(c-a)=0
    e ces deux égalités on en déduit que (a-b)(b-c)+(b-c)(c-a)+c-a)(a-b)=0
    Et en posant w3=(a-b)(b-c)(c-a) (tout complexe est un cube).
    On a a-b, b-c et c-a sont les trois racines de X3-w3, ils sont images les uns des autres par des produits par les racines 3èmes de l'unité 1, j et j² donc a, b et c sont les affixes d'un triangle équilatéral (ou sont confondus).
    Réciproquement, on a b-c=k(a-b) c-a=k²(a-b) avec k=j ou j². D'où
    (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=(a-b)²[1²+k²+k4]=0 et en développant, en divisant par et en regoupant les carrés 'un même côté les produits mxtes de l'autre on obtient a²+b²+c²=ab+bc+ca.

    Racine cubique était le maître mot.

  4. #3
    fusionfroide

    Re : nombres complexes !

    OK merci !

    Sinon : ABC un triangle équilatéral équivaut à a + bj + cj² = 0

    voilà comment j'ai fais :

    le point a à pour image le point b par une rotation de centre c et d'angle pi/3 = j

    D'où : b - c = j ( a - c ) ==> b - c - ja + jc = 0 ==> ???

  5. #4
    Jeanpaul

    Re : nombres complexes !

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    0=2(a²+b²+c²-ab-bc-ca=)=a²-2ab+b² + b²-2bc+c² + c²-2ca+a²=(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²
    Bien vu, mais à partir de là, ça me suffit pour dire que a=b=c quand la somme des carrés vaut zéro.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    homotopie

    Re : nombres complexes !

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Bien vu, mais à partir de là, ça me suffit pour dire que a=b=c quand la somme des carrés vaut zéro.
    on est dans C pas dans R.

  8. #6
    Jeanpaul

    Re : Nombres complexes !

    Moi je voyais ça comme les côtés d'un triangle ABC, donc réels.

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  10. #7
    homotopie

    Re : Nombres complexes !

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Moi je voyais ça comme les côtés d'un triangle ABC, donc réels.
    Tiens, c'est vrai que ça marche avec ces hypothèses.

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