Bonjour,
Voilà l'exo que j'ai eu en colle de maths mais dont j'ai oublié la solution
ABC triangle équilatéral équivaut à a² + b² + c² = ab + ac + bc
voilà comment j'ai fais !
a² + b² + c² = ab + ac + bc ==> a² + b² + c² - ab - ac - bc = 0 puis je bloque
pouvez vous m'aider s'il vous plait ?!
0=2(a²+b²+c²-ab-bc-ca=)=a²-2ab+b² + b²-2bc+c² + c²-2ca+a²=(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²
De même (a-b)+ (b-c)+(c-a)=0
e ces deux égalités on en déduit que (a-b)(b-c)+(b-c)(c-a)+c-a)(a-b)=0
Et en posant w3=(a-b)(b-c)(c-a) (tout complexe est un cube).
On a a-b, b-c et c-a sont les trois racines de X3-w3, ils sont images les uns des autres par des produits par les racines 3èmes de l'unité 1, j et j² donc a, b et c sont les affixes d'un triangle équilatéral (ou sont confondus).
Réciproquement, on a b-c=k(a-b) c-a=k²(a-b) avec k=j ou j². D'où
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=(a-b)²[1²+k²+k4]=0 et en développant, en divisant par et en regoupant les carrés 'un même côté les produits mxtes de l'autre on obtient a²+b²+c²=ab+bc+ca.
Racine cubique était le maître mot.
OK merci !
Sinon : ABC un triangle équilatéral équivaut à a + bj + cj² = 0
voilà comment j'ai fais :
le point a à pour image le point b par une rotation de centre c et d'angle pi/3 = j
D'où : b - c = j ( a - c ) ==> b - c - ja + jc = 0 ==> ???
Bien vu, mais à partir de là, ça me suffit pour dire que a=b=c quand la somme des carrés vaut zéro.Envoyé par homotopie
on est dans C pas dans R.
Moi je voyais ça comme les côtés d'un triangle ABC, donc réels.
Tiens, c'est vrai que ça marche avec ces hypothèses.
