Trouver la fonction optimale (intégrales)

[Rodrigue]

Bonjour,

Je bloque sur un problème qui semble à priori simple...

J'ai deux fonctions:



Je souhaiterais trouver la fonction "optimale" qui minimise et qui maximise .

Merci d'avance !
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[Rodrigue]

J'ai oublié de préciser que:


Pour moi, la fonction optimale est un demi cercle:


mais comment le démontrer?

Je pense que c'est un peu le même genre de problème que de démontrer que c'est la sphère qui est l'objet qui présente le plus grand volume pour la plus petite surface extérieure.

[invite4ef352d8]

Salut !


pour maximiser ce genre de fonctionelle, le plus simple est d'utiliser l'equation différentiel d'Euler Lagrange :
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_d'Euler-Lagrange

[Rodrigue]

Merci pour ta réponse!

Désolé mais je ne vois pas vraiment comme appliquer cette propriété à mon problème... J'ai bien regardé http://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_brachistochrone mais ça reste toujours flou pour moi!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

ok, déja deux petit remarque :
-la question de chercher une fonction qui optimise à la fois G et L n'as pas de sens ! (qui te dit que les optimum des deux fonction coincide, par exemple si je te demande de trouver un réel x qui minimise sin(x) et qui maximise cos(x) en meme temps, tu aura du mal à me donne une réponse ^^ )
-et puis G et L ne sont pas des fonction de x !, mais plutot de f.


donc on va chercher une fonction qui minimise L(f) par exemple.
La fonction F est F(t,x(t),x'(t))=sqrt(1+x'(t)^2 )

bon les notation de wiki sont pas super claire, quand ils écrire dF/dx et dF/dx' il faut surtous pas voir de lien entre x et x' : ce sont juste les dérivé de F par rapport à la prmeier et a la deuxieme variable. si F etait éval a x' au aurait dF/dx'=1 et dF/dx=0. alors que d/dt désigne un vrai dérié par rapport a t : dx/dt=x'(t)

donc dF/dx est nul.

dF/dx' = x'(t)/sqrt(1+x'(t)^2)
d/dt(dF/dx')=x''(t)/sqrt(1+x'(t)^2) - x''(t)x'(t)^2/(1+x'(t)^2)^(3/2)

et l'equation d'EUler lagrange nous dit donc que les fonctions qui Optimise L sont solution de :
x''(t)/sqrt(1+x'(t)^2) - x''(t)x'(t)^2/(1+x'(t)^2)^(3/2) =0

apres quelque simplification, on la réecrit :
x''(t)/sqrt(1+x'(t)^2) * (1-x'(t)^2/(1+x'(t)^2) = x''(t)/sqrt(1+x'(t)^2)^(3/2)=0

d'ou x''(t)=0

ceci dit ce n'est pas une surprise, la premier equation donne la longeur de l'arc f, et les arc de plus courte distance sont les les droite, donc x(t)=at+b !

je te laisse faire le meme calcule pour G, mais visiblement L et G ne sont pas simultanément extremal.

[Rodrigue]

Oh t'as pris l'exemple simple ! Tu ne pouvais pas résoudre la seconde intégrale à la place ?

Oui le problème c'est de trouver la fonction qui donne un bon compromis entre la minimisation de L(f(x)) et la maximisation de C(f(x)). Je ne cherche pas la fonction qui minimise L ni celle qui maximise C mais celle qui me donnera le plus petit L pour le plus grand C

Je me demande s'il n'est pas possible d'exprimer f(x) comme un polynôme de degré N:


et faire passer cette expression dans mes intégrales...

De là , n'est-il pas possible de faire passer mes dérivées sous le signe intégrale (je pense que la condition c'est que mes fonctions à intégrer soient continues...)...

Dis-moi ce que tu en penses !

Merci!

[invite4ef352d8]

Le probleme maintenant c'est que tu ne définit pas précisement ce que tu veux, la question n'as plus de sens précis. ce que tu pourrait faire c'est choisir une bonne fonctionelle qui dépendent à la fois de C et de L qui serait un bon "facteur de qualité" et que tu chercherait à optimiser.

et à ce niveaux il faut trouver un bon compromis entre prendre une grandeur qui ai un sens, et prendre qqch qui aura une suffisement bonne tete pour etre calculable...


je comprend pas bien ce que tu veux faire en "passant la dérivé sous le signe intégrale" mais les hypothese neccesaire pour permuter un signe intégral et un signe dérivé sont assez compliqué (ie pour dire que d/dx( intégral de f(x,t)dt)= intégral de d/dxf(x,t) dt... ).
la version la plus classique est "pour tous x0, il existe une fonction Phi(t) intégrable telle que pour x au voisinage de x0, Phi(t)>|(d/dx)f(x,t)|"
cette hypothese etant juste une condition suffisante, mais dans les exemple concret elle est presque toujours vérifié... en particulier si ta fonction est C1 est que tu integre sur un intervalle borné y aucun probleme, tu prend pour Phi une fonction constante.

[Rodrigue]

Désolé de ne pas t'avoir répondu plus tôt... j'avais beaucoup de travail.

Je pense que tu as raison quand tu dis:

Le probleme maintenant c'est que tu ne définit pas précisement ce que tu veux, la question n'as plus de sens précis. ce que tu pourrait faire c'est choisir une bonne fonctionelle qui dépendent à la fois de C et de L qui serait un bon "facteur de qualité" et que tu chercherait à optimiser.

Je fais essayer de trouver une telle fonctionnelle (j'ai déjà ma petite idée!).

En re-re-re-lisant Feynman, je me suis aperçu que les "bases" du calcul variationnelle étaient presque toutes contenues dans son chapitre consacré au principe de moindre action... C'est assez cool la façon dont il retrouve F = m . a