Idéaux

[invitecbbd739b]

Bonjour tout le monde!
Bon, je suis nouvelle sur le forum et pour mon premier message, je vais vous embêter avec de l'algèbre!

En fait c'est un devoir que j'ai à faire, mais je ne suis pas très douée (pas du tout douée) en algèbre alors je viens vous demander votre avis sur ce que j'ai fait!

L'énoncé dit

Soit un idéal premier et soit . Soit

1- Montrer que les Q tels que q=(0) sont en bijection avec les idéaux premiers de

La, j'ai répondu que et j'ai utilisé le théorème qui dit qu'il y a une bijection entre les idéaux premiers de qui ne rencontrent pas S et les idéaux premiers de . Bon, jusqu'à là je pense que ca va, c'est après que je bloque!

2-Conclure que si , alors , où f est irréductible

3- Soit la partie primitive de f. Montrer que et que , et conclure que Q=

J'ai répondu à la 2ème question mais pour la 3ème je n'y arrive pas. J'ai dit que si f est irréductible sur , alors l'est aussi, donc par le théorème susmentionné : . J'ai aussi vu que comme est primitif, alors est irréductible (équivaut à premier car est factoriel).
Mais je n'arrive pas à voir pourquoi , et même après ca, je vois pas comment je peux conclure que Q=.

Voilà, je vous ai exposé mon problème, j'espère que vous pourrez m'aider! Ou au moins me mettre sur la piste...
Merci d'avance!
-----

[invitecbbd739b]

Alors? Personne n'a d'idée?

[invite9cf21bce]

Salut.
J'ai déjà du mal avec la deuxième question. Il me semble que si on prend
Q=2Z[t]
Alors Q est bien un idéal premier de Z[t] (le quotient est (Z/2Z)[t], intègre).
Pourtant 2Q[t]=Q[t] ne peut pas s'écrire fQ[t] avec f irréductible...

Peut-être faut-il supposer q=(0) dans cette question aussi...?

Sinon, pour ton problème, il me semble que Q[t]=fQ[t] tout simplement parce que s'écrit af, où aQ* (ou alors je me plante complètement sur ce que veut dire partie primitive).

Taar.

[invite9cf21bce]

Et sinon, pour la dernière question (toujours dans l'hypothèse où QZ=(0)), compare les images dans Q[t] des idéaux suivants :

• Z[t] (dont tu as vu qu'il est premier)
• Q

Taar.

PS: je ne suis pas sûr qu'on puisse employer le "théorème susmentionné" dans ce sens. Quoi qu'il en soit, l'assertion Z[t]Z=(0) peut se voir directement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbbd739b]

merci taar! En fait, j'ai réussi à repondre à cet exercice finalement, c'était surtout la conclusion qui me dérangeait, et j'ai fini par comprendre! En tout cas, je te remercie beaucoup pour ta réponse!