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F(AUB) = F(A) union F(B)



  1. #1
    Brumaire

    F(AUB) = F(A) union F(B)


    ------

    On a une application f qui va de M dans N
    A et B sont deux sous-ensembles de M.

    Je pense que l'égalité est vérifiée si f est bijective. Peut-on la montrer également si f est une application quelquonque? Ou n'a t-on une inclusion que dans un sens?

    -----

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  3. #2
    penelope

    Re : F(AUB) = F(A) union F(B)

    pour une application quelconque, ça marche bien :
    ( je prend le symbole £ pour "appartient )

    si x£f(AuB), alors il existe t£AuB tq f(t)=x
    mais alors t£A ou t£B, cad f(t)£f(A) ou f(t)£f(B)....finir..

    si x£f(A)uf(B) alors x£f(A) ou x£f(B)
    mais alors il existe a£A tq f(a)=x ou il existe b£B tq x=f(b)...finir..

    par contre, si tu essayes de comparer f(AnB) et f(A)nf(B), tu ne trouveras qu'une inclusion...
    un doigt pointe vers la lune, tant pis pour celui qui regarde le doigt..

  4. #3
    Brumaire

    Re : F(AUB) = F(A) union F(B)

    Si ca marche avec l'union, ca devrait aussi marcher pour l'intersection qui est incluse dans l'union?

  5. #4
    penelope

    Re : F(AUB) = F(A) union F(B)

    et pourtant, non, ça ne marche pas :
    pour x£f(A)nf(B), x£f(A) et x£f(B)
    donc x possede un antecedenta dans A et x possede un antecedent b dans B, mais il peut ne pas avoir d'antecedent dans AnB...

    ex : A={a}, B={b} et f(a)=f(b)=c ( avec a et b distincts )

    alors f(A)={c}, f(B)={c} et f(A)nf(B)={c}
    mais AnB=ens vide et f(AnB)=ens vide...
    un doigt pointe vers la lune, tant pis pour celui qui regarde le doigt..

  6. #5
    Brumaire

    Re : F(AUB) = F(A) union F(B)

    A moins que... il faut que je vérifie une chose

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Brumaire

    Re : F(AUB) = F(A) union F(B)

    Oui tu as raison pour l'union...

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  10. #7
    Brumaire

    Re : F(AUB) = F(A) union F(B)

    euh pour l'intersection, il n'y a qu'une inclusion

  11. #8
    Sharp

    Re : F(AUB) = F(A) union F(B)

    Pour l'intersection, l'inclusion se fait dans les deux sens si l'application est bijective je pense, non?

  12. #9
    Brumaire

    Re : F(AUB) = F(A) union F(B)

    oui,c'est ca, mais pas quand l'application est banale

  13. #10
    gilllloux

    Re : F(AUB) = F(A) union F(B)

    Pour l'égalité avec l'intersection, cela marche aussi lorsque F est seulement injective.

  14. #11
    penelope

    Re : F(AUB) = F(A) union F(B)

    Citation Envoyé par Sharp
    Pour l'intersection, l'inclusion se fait dans les deux sens si l'application est bijective je pense, non?
    et si...même quand l'application est quelconque, ça marche pour l'intersection....

    pour la premiere inclusion, idem union.

    pour x£f(A)nf(B), x£f(A) et x£f(B)
    donc x passed un antecedent a dans A (1) ou x possede un antecedent b dans B (2)
    mais que ce soit (1) ou (2), de toute façon x possede un antecedent dans AuB car a£AuB et b£AuB
    (et c'est là que ça coïnce pour l'intersection car on peut avoir ni a ni b dans AnB... )
    un doigt pointe vers la lune, tant pis pour celui qui regarde le doigt..

  15. #12
    Brumaire

    Re : F(AUB) = F(A) union F(B)

    Il suffit de trouver un contre-exemple

  16. Publicité
  17. #13
    penelope

    Re : F(AUB) = F(A) union F(B)

    le voilà le contre-exemple :

    Citation Envoyé par penelope

    ex : A={a}, B={b} et f(a)=f(b)=c ( avec a et b distincts )

    alors f(A)={c}, f(B)={c} et f(A)nf(B)={c}
    mais AnB=ens vide et f(AnB)=ens vide...
    un doigt pointe vers la lune, tant pis pour celui qui regarde le doigt..

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