Calculer une signature en pratique

[Bleyblue]

Bonjour,

Si j'ai une permutation et que je connais sa décomposition en cycles disjoints, pouvez-vous me dire s'il est correcte de dire qu' est de signature 1 si la décomposition ne fait intervenir qu'un nombre pair de cylces de longueur pair, et de signature -1 si elle ne fait intervenire qu'un nombre impair de cycles de longueur impair ?

J'ai un chapitre de mon cours la dessus mais mes notes sont un peu vagues et je ne suis plus sûr de cette dernière affirmation

merci
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

Je ne comprends pas bien ta phrase, mais voilà une méthode qui marche pour calculer la signature d'une permutation:
- Tu écris ta permutation en cycles (pas forcément disjoints)
- Tu sais que la signature d'un cycle (a1,..., ap) est (-1)^(p-1)
- Maintenant, tu utilises que la signature est un morphisme de groupe, donc
S( sigma1°sigma2) = S(sigma1) S(sigma2).

Bien, en faisant ainsi, tu obtiens assez facilement la signature de n'importe quelle permutation, quel que soit la forme sous laquelle elle t'est donnée.

Par exemple, considère sigma = (1,2)°(2,3)°(2,4) = (1,2,4,3), tu obtiens
S(sigma) = S(1,2) S(2,3) S(2,4) = -1, ou
S(sigma) = S(1,2,4,3) =-1.

Bref, calculer une signature, c'est facile !
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rvz

[Bleyblue]

Ah oui je vois.

Mais je pense que ce que je dis reviens au même, ma phrase n'est sans doute pas claire mais elle dit que la signature d'une permutation a c'est (-1)^M ou M est le nombre de cycles de longueur paires de la permutation.

Donc par exemple :

(1,2,3)(4,5) est de signature (-1)¹ = -1
(1,2)(3,4)(5,6,7,8) est de signature (-1)³ = -1
(1,2,3,4)(5,6,7,8) est de signature (-1)² = 1

merci !

[invite6b1e2c2e]

Certes, certes. Cela dit, j'insiste sur le fait que peu importe ce à quoi ressemble ta permutation, qu'elle te soit donnée en cycle de support disjoints ou pas.


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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

D'accord, c'est bon à savoir.

merci bien !