problème de réutilisation de la définition de la limite

[invite5440beb0]

Bonjour à tous!
Voilà comme je le disais dans le titre,j'ai quelques difficultés à comprendre cette définition de la limite,et le pire c'est que je bloque carrément lorsque j'essaye de me tester sur quelques exos,notamment lorsqu'il s'agit de démontrer la validité d'une assertion ,par exemple:

lim f(x) = l et f(xo) existe => f(xo) = l
x->xo

Peut être que cela vous parait "basique" et je suis d'accord avec vous je pense que ça viendra au fur et à mesure,cependant j'aimerais bien que l'on m'explique aussi ce que signifie cette définition(j'aimerais poser les choses parce que c'est con de planter sur un exo si je suis même pas sur de ce que je comprends!!)
Merci d'avance de votre aide
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[karatekator]

lim f(x) = l et f(xo) existe => f(xo) = l
x->xo

Il ne manquerait pas l'hypothèse f continue par hasard?

[invite5440beb0]

Pas à ce que je saches non.De toute façon nous n'avons pas commencé à traiter de la continuité(vive les grèves ),c'est un exo qu'il faut absolument savoir faire et comprendre,en général le prof nous donne pas de démonstration qui déborde sur des chapitres pas encore abordés.

[karatekator]

Il ne manquerait pas l'hypothèse f continue par hasard?

C'était une question purement réthorique...
En fait

lim f(x) = l et f(xo) existe => f(xo) = l
x->xo

est (presque) la définition de la continuité...

La définition exacte étant

f continue en xo si et seulement si f(xo) existe et
lim f(x) =f(xo)
x->xo

Donc sans l'hypothèse f continue, le résulat ne peut pas être démontrer car il faux dans le cas générale!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

lim f(x) = l et f(xo) existe => f(xo) = l
x->xo

Par l'absurde, supposons le contraire : reprends la définition de la limite en x₀, cette définition fait intervenir une première variable généralement appelé qui est quantifiée universellement, en choisissant = |l - f(x₀)| / 2 et x = x₀ (ce que l'on peut faire pour tous les choix de (la variable quantifiée existentiellement)), tu devrais pouvoir conclure.

[Sylvestre]

Il ne manquerait pas l'hypothèse f continue par hasard?

Bonjour,

l'assertion est vraie même sans continuité. En fait, la limite dit que pour toute suite y_n convergent vers x_0, on a f(y_n) qui tend vers l. Donc en choisissant la suite y_n constante égale à x_0, on a le résultat.

[karatekator]

l'assertion est vraie même sans continuité.

Au temps pour moi... Désolé...

[invitec053041c]

Bonjour,

l'assertion est vraie même sans continuité. En fait, la limite dit que pour toute suite y_n convergent vers x_0, on a f(y_n) qui tend vers l. Donc en choisissant la suite y_n constante égale à x_0, on a le résultat.

Ben justement il faut que cela fonctionne pour toute suite convergeant vers xo, donc prendre le cas particulier Un=xo n'est abslument pas suffisant !

Ce résultat est bel et bien faux dans le cas général.
Si on prend la fonction f tq:
f(x)=sin/x pour x non nul.
f(0)=0

Alors lim f(x) lorsque x tend vers 0 vaut 1. (et non f(0)=0).

[Sylvestre]

Ben justement il faut que cela fonctionne pour toute suite convergeant vers xo, donc prendre le cas particulier Un=xo n'est abslument pas suffisant !

Ce résultat est bel et bien faux dans le cas général.
Si on prend la fonction f tq:
f(x)=sin/x pour x non nul.
f(0)=0

Alors lim f(x) lorsque x tend vers 0 vaut 1. (et non f(0)=0).

Ce n'est pas ce que l'on doit montrer. On doit montrer que si lim f(x)=l lorsque x->x0, alors f(x0)=l.
Ta fonction ne vérifie pas l'hypothèse de départ.