Définition formelle d'une limite et démonstration

[Bleyblue]

Bonjour,

-> Démontrez que

J'ai la démonstration ici mais j'aimerais m'assurez que je la comprend bien si vous n'y voyez pas d'inconvénient

On a ici : a = 0, L = 0, f(x) = x² et on souhaite donc démontrer qu'il existe un nombre postif tels que pour tout positif on ai si

Et donc : (1) si

de l'inéquation (1) on tire que |x| < et donc on vient de démontrer que ce nombre delta existe à condition qu'il soit plus grand ou égale à la racine carrée d'epsilon.

Est-ce que j'ai compris ou je suis à côté ?

merci
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[invitec314d025]

Le but est de démontrer qu'un tel delta existe pour tout epsilon strictement positif.
Donc pour un epsilon donné, tu prend delta égal à la racine carrée de epsilon, et le tour est joué.

C'est ce que tu a fait, par contre ta phrase "ce nombre delta existe à condition qu'il soit plus grand ou égale à la racine carrée d'epsilon" n'est pas vraiment rigoureuse. Il n'y a pas de condition d'existence, il existe pour tout epsilon, c'est tout.

[invitef591ed4b]

J'ajoute des commentaires supplémentaires ...

Et donc : (1) si

de l'inéquation (1) on tire que |x| < et donc on vient de démontrer que ce nombre delta existe à condition qu'il soit plus grand ou égale à la racine carrée d'epsilon.

Est-ce que j'ai compris ou je suis à côté ?

Tu es un peu à côté. Tu ne peux rien tirer de (1), vu que c'est justement (1) que tu dois montrer. Dans l'expression

: |x|< => |x²|<

tu fixes et tu dois montrer qu'il existe un qui est fonction de , et tel que l'expression ci-dessus est toujours vraie. Un tel est, dans ce cas-ci : .

[invite4b9cdbca]

J'ai un peu de mal a tout suivre mais il me semble qu'il y a une definition assez complete ici :

http://forums.futura-sciences.com/th...3870-4-18.html

Lire le message 55.
J'espere avoir ete quelque peu utile.

Kron

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Tu es un peu à côté. Tu ne peux rien tirer de (1), vu que c'est justement (1) que tu dois montrer.

Ah. Je ne comprend pas parce que dans le Stewart il me semble que c'est ce qu'il fait :

quand 0 < |x| <

Or vu que la fonction racine carrée est une fonction croissante, on sait que :

<=> <=>

Non ?

merci

[Bleyblue]

x² < si c'est que forcément delta = oui.

Mais pour trouver ça moi je me suis servi de |x| < que j'ai élevé au carré et en servant de x² < on a .

Mais alors je ne comprend pas comment il se fait que je peux me servir de ses deux inéquations comme si elles étaient vraies étant donné que je suis sensé le démontrer ...

merci

[invite9c9b9968]

Salut,

dans ton premier message, ta formulation est fausse : ce n'est pas un delta tel que pour tout epsilon blabla, mais le contraire !

Tu as inversé les quantificateurs, et comme le rappel Sephi, c'est plutôt pour tout epsilon il existe delta tel que blablabla.

Donc tu fixe (mais il est bien entendu quelconque).

A partir de là tu veux trouver un bon .

Ton raisonnement est presque juste

Mais mal formulé. En fait, comme le rappel Stewart, ce qui t'a permis de trouver le est une succession d'équivalences.

Dans ce cas, tu peux partir de la conclusion (que tu connais) pour remonter à la condition que tu recherches. Mais attention : si quelque part il n'y a qu'une implication, tout le raisonnement s'écroule ! Car si B implique A, cela ne signifie pas qu'ayant A on a B

[Bleyblue]

Ah bon.
Par " succession d'équivalences " ce que tu veux dire c'est que si je dois démontrer :

(1)
si


Alors j'ai il est licite de dire que (1) est équivalent à et donc la démonstration se ramène à :


si


C'est bien ça ?

Merci

P.S. : Pardon de tellement insister sur les étapes de cette démonstration mais c'est important pour moi (J'aimerai tout de même être capable de pondre un raisonnement mathématique conséquent et correcte un jour )

[invite9c9b9968]

Alors j'ai il est licite de dire que (1) est équivalent à et donc la démonstration se ramène à :


si


C'est bien ça ?

Pas tout à fait ; tu veux trouver (ou au moins prouver qu'il en existe un) ici tu l'as c'est justement

En fait, ce que tu veux prouver c'est qu'à fixé, il existe (dans le cas particulier qui nous occupe, tu vas même en exhiber un) tel que :




Tu as donc une implication dans un sens précis.

Dans ton raisonnement, tu es parti de la fin :



Écrit comme cela, tu te rends compte facilement que tu ne peux pas conclure puisque l'implication n'est pas la bonne (tu recherche l'inverse).

Mais en fait, c'est une équivalence que tu as (comme le rappelle Stewart) :

Donc tu as aussi l'implication dans l'autre sens, celui qui t'intéresse :



Donc avec le raisonnement est tout à fait correct : à fixé, tu as trouvé tel que


Tu as bien prouvé que

[Bleyblue]

Je pense que je comprend mais ce n'est pas évident ...

Dans les exercices ils proposent d'essayer de faire de même avex x³.
Donc j'ai :

|x| < => (2)

(2) <=> |x| <

et donc : =>

et donc

Ca m'a l'air juste mais je n'ai fais que recopier ton raisonnement, je ne pense pas pouvoir pondre un truc pareil de moi même ...

merci !