Fonctions à deux variables, points critiques, détermination d'extremun

[invite7acb3082]

Bonjour

Voila aprés avoir épuiser, mes cours de maths, ainsi qu'un polycopié, je viens m'en remettre à vous

je suis sur l'étude d'une fonctions de deux variable, et on me demande de montrer qu'un des points critique que j'ai trouver n'est pas un extremun.

je connais le théoreme qui dit que :



alors j'ai un extremun, et si :



alors je n'ai pas d'extremun ( ici tout les 2 sont à prendre pour des "puissance carré" )

malheureusement, moi je tombe sur un cas particulier :



dans mon cours, comme dans mon polycopié, il est dit que le théoreme n'est valable que si l'équation ci-dessus est non nul, mais moi je la trouve égale à zéro, et ne sait quoi faire .

P.S. : dans l'exercice, on me dit que je peut étudier deux fonctions f ( 1+h, 0 ) et f ( 1, k ) , (mon points critique étant en (1,0) ) j'ai déja vu des chose semblable dans mon cours, mais on étudiait seulement une seule fonction f ( x+h, y+k ) et non pas deux .

Merci d'avoir prix le temps de lire ce message .
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[Scorp]

As tu compris d'où ces inégalités étaient tirées ?
Pour rechercher un extremum en un point a, tu peux faire un développement au second ordre : où Jf(a) est la jacobienne en a, et Hf(a) la matrice des dérivées secondes de f au point a. Comme tu veux un point critique (car un extremum en a), on aura Jf(a)=0.
Il te reste donc f(a+h)-f(a)=un terme qui POURRAIT ressembler à un produit scalaire car Hf(a) est symétrique (cf Th de Schwarz) : Si elle est définit positive, alors pour tout h proche de 0, on aura f(a+h)-f(a)>0 : on aura donc un minimum au point a. Tu remarqueras que l'espression que tu donne est tout simplement det(Hf(a)) : en effet, pour avoir un extremum, il faut que la matrice soit définit, c'est à dire 2 valeurs propres de même signe, d'où det(Hf(a))>0. Si c'est <0, on a 2 valeurs propres de signes opposés : donc selon h, on aura soit un f(a+h)>f(a), soit f(a+h)<f(a) : On aura donc un point scelle en a.
Maintenant, le probleme : si on a det(Hf(a))=0, on ne peut pas conclure que f(a+h)=f(a) car Hf(a) peut être non nulle et il reste des termes d'ordre supérieur dans le développement qu'on n'a pas pris en compte => conclusion : dans ce cas, il faut pousser le développement à l'ordre 3 !

[Scorp]

Je n'avais pas vu la fin de ton énoncé : on te demande justement de faire un développement autour de ton point critique, mais pas généralisé, juste selon deux droites de ton espace : le but sera sans dôute de trouver que selon l'une des droites tu auras un maximum, et qu'en suivant l'autre droite tu auras un minimum, ce qui te permettra de conclure sur l'exo.

P.S : essaye de refaire le calcul de ton expression det(Hf(a)), c'est qu'en même rare de trouver 0 dans les exos !