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Extremums de fonctions de deux variables



  1. #1
    Bleyblue

    Extremums de fonctions de deux variables


    ------

    Bonjour,

    J'ai une fonction :



    différentiable et je cherche les extrémums de f sur son domaine D.

    Si D et un ouvert ça va, je calcule les points critiques de f (ceux où le gradient de f est nul), je calcule la Hessienne de f en ces points et je détermine alors si les points en question sont des minimums locaux, des maximums locaux, ou des points de selle par la méthode bien connue.

    Mais si f est fermé, la méthode ci dessus ne s'applique pas pour les points du bord.
    Savez-vous comment je dois faire pour ces points la ?

    Si je prends par exemple f(x,y) = (x -1)y(y - x) sur le domaine fermé D limité par les droites y = x, y=0 et x =1 je trouve quatres points de selle sur l'intérieur du domaine, sur le bord elle vaut tout le temps 0 et je ne sais pas comment faire pour savoir si cette valeur est une valeur extrême ou non.

    Une idée ?

    merci

    -----

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  3. #2
    Bleyblue

    Re : Extremums de fonctions de deux variables

    En fait en réfléchissant un peu je montre de manière très simple que pour mon exemple la 0 est un minimum global de ma fonction, atteint pour tout point au bord (y = 0 ou x = 1 ou y = x)

    Mais ce n'est qu'un cas particulier ça, de manière générale pour les points du bord, comment dois-je procéder ?

    merci

  4. #3
    ashrak

    Re : Extremums de fonctions de deux variables

    Bon alors il y a deux manières de procéder:
    -la première est de de paramétrer ton "arc frontière" et de remplacer franco dans l'équation (si elle est donnée) de ta fonction. Et d'espérer que les calculs classiques se simplifierons.
    - La deuxième permet de déterminer un extremum si on sait qu'il existe sur la frontière.Voici les hypothèses:
    (a,b) extremum de F lié par la relation f(x,y)=0 alors

    [je passe sous silence toutes les histoires de C1 etc...]

    Pour la petite histoire la démonstration se fait à partir des fonctions contractantes.

  5. #4
    Bleyblue

    Re : Extremums de fonctions de deux variables

    Ah, paraméterer l'arc de frontière ?
    Mais de toute manière j'ai des informations sur cette dernière, si par exemple je sais que la frontière correspond aux points (x,y) tels que x = 0 j'injecte et je n'ai plus qu'une fonction d'une variable.

    Et que tu dis tu que je dois faire une fois que j'ai paramétriser ? Remplacer franco ?

    merci

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    ashrak

    Re : Extremums de fonctions de deux variables

    Bon cela commence mal j'oublie de donner le second terme , milles excuses :


    La parametrée c'est dans le cas général (ellipse par exemple), si ta frontière est plus simple tant mieux ! Une fois paramétrée tu remplace les composantes dans l'équation de ta fonction. Tu obtient grosso-modo la fonction sur ta frontière avec une seule variable (par exemple en t).
    Il suffit de calculer la différentielle comme d'habitude (on se ramène à une étude de fonction à une seule variable)

  8. #6
    Bleyblue

    Re : Extremums de fonctions de deux variables

    Ah oui, juste ... je comprends comment m'y prendre je pense.

    Je vais essayer quelques exercices, merci bien !

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