Extremums de fonctions de deux variables

[Bleyblue]

Bonjour,

J'ai une fonction :



différentiable et je cherche les extrémums de f sur son domaine D.

Si D et un ouvert ça va, je calcule les points critiques de f (ceux où le gradient de f est nul), je calcule la Hessienne de f en ces points et je détermine alors si les points en question sont des minimums locaux, des maximums locaux, ou des points de selle par la méthode bien connue.

Mais si f est fermé, la méthode ci dessus ne s'applique pas pour les points du bord.
Savez-vous comment je dois faire pour ces points la ?

Si je prends par exemple f(x,y) = (x -1)y(y - x) sur le domaine fermé D limité par les droites y = x, y=0 et x =1 je trouve quatres points de selle sur l'intérieur du domaine, sur le bord elle vaut tout le temps 0 et je ne sais pas comment faire pour savoir si cette valeur est une valeur extrême ou non.

Une idée ?

merci
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[Bleyblue]

En fait en réfléchissant un peu je montre de manière très simple que pour mon exemple la 0 est un minimum global de ma fonction, atteint pour tout point au bord (y = 0 ou x = 1 ou y = x)

Mais ce n'est qu'un cas particulier ça, de manière générale pour les points du bord, comment dois-je procéder ?

merci

[invite4af455c2]

Bon alors il y a deux manières de procéder:
-la première est de de paramétrer ton "arc frontière" et de remplacer franco dans l'équation (si elle est donnée) de ta fonction. Et d'espérer que les calculs classiques se simplifierons.
- La deuxième permet de déterminer un extremum si on sait qu'il existe sur la frontière.Voici les hypothèses:
(a,b) extremum de F lié par la relation f(x,y)=0 alors

[je passe sous silence toutes les histoires de C¹ etc...]

Pour la petite histoire la démonstration se fait à partir des fonctions contractantes.

[Bleyblue]

Ah, paraméterer l'arc de frontière ?
Mais de toute manière j'ai des informations sur cette dernière, si par exemple je sais que la frontière correspond aux points (x,y) tels que x = 0 j'injecte et je n'ai plus qu'une fonction d'une variable.

Et que tu dis tu que je dois faire une fois que j'ai paramétriser ? Remplacer franco ?

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4af455c2]

Bon cela commence mal j'oublie de donner le second terme , milles excuses :


La parametrée c'est dans le cas général (ellipse par exemple), si ta frontière est plus simple tant mieux ! Une fois paramétrée tu remplace les composantes dans l'équation de ta fonction. Tu obtient grosso-modo la fonction sur ta frontière avec une seule variable (par exemple en t).
Il suffit de calculer la différentielle comme d'habitude (on se ramène à une étude de fonction à une seule variable)

[Bleyblue]

Ah oui, juste ... je comprends comment m'y prendre je pense.

Je vais essayer quelques exercices, merci bien !