Fonctions de plusieurs variables

[inviteb53c3bd2]

Salut, comme d'habitude j'ai un problème...
Voila, en fait je n'arrive pas à me représenter la notion de "continuité de dérivées partielles"...Ceci se traduit dans l'exercice suivant:

"on considère une fonction f à deux variables x et y admettant des dérivées partielles df/dx et df/dy dans un domaine D de R²(je ne sais pas comment écrire 'd rond').

Montrer que s'il existe un réel i / |df/dx|<i et |df/dy|<i pour tout (x,y) de D, alors f continue dans D"

Je suppose donc qu'il faut montrer que les dérivées partielles sont continues...et c'est là que je sèche
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[invite35452583]

Je suppose donc qu'il faut montrer que les dérivées partielles sont continues...et c'est là que je sèche

Pourquoi ces dérivées seraient nécessairement continues ?

Il y a un "truc" qui semble t'avoir échappé : être dérivable partiellement ne met en scène la variation que d'une seule variable (x ou y), la continuité de f met en scène les variations de x et de y en même temps. Ainsi, par exemple, une fonction peut diverger quand (x,y) tend vers (0,0) en restant sur la bissectrice d'équation y=x mais être dérivable en x et en y (les trois directions sont distinctes).

Une idée d'une démo est pour aller de (x0,y0) à (x,y) on passe par le point intermédiaire (x,y0), avec les hypothèses on sait majorer, en valeur absolue, f(x,y)-f(x,y0) et f(x,y0)-f(x0,y0).

[inviteb53c3bd2]

Pourquoi ces dérivées seraient nécessairement continues ?

euh...parce que si une fonction admet des dérivées partielles continues sur un domaine alors elle est continue sur ce même domaine (puisque l'existence de dérivées partielles continues entraine la différentiabilité de la fonction).

Je pense saisir un petit peu ce "truc" qui m'a échappé mais depuis hier je cherche à appliquer ton conseil et je n'y arrive pas (pas même un semblant de début de démo ...c'est peut-être trop demander d'expliciter ton idée, mais je pense que ça me serait d'une grande aide

Merci d'avance

[invite35452583]

euh...parce que si une fonction admet des dérivées partielles continues sur un domaine alors elle est continue sur ce même domaine (puisque l'existence de dérivées partielles continues entraine la différentiabilité de la fonction).

Une condition suffisante n'est pas une condition nécessaire, en fait ton exo est une généralisation non complète (seulement la continuité) de cela.

Je pense saisir un petit peu ce "truc" qui m'a échappé mais depuis hier je cherche à appliquer ton conseil et je n'y arrive pas (pas même un semblant de début de démo ...c'est peut-être trop demander d'expliciter ton idée, mais je pense que ça me serait d'une grande aide

Merci d'avance

L'application x->f(x,y0) est une application différentiable sur un voisinage de x0, on peut lui appliquer le théorème des accroissements finis grace à une partie de l'hypothèse.
Il en est de même de y->f(x,y) pour x, cette fois fixé, dans le voisinage de x0, et y dans le voisnage de y0.
On en déduit une minoration de lf(x,y)-f(x0,y0)l qui permet de conclure que f est continue en (x0,y0).

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb53c3bd2]

en fait j'étais tellement obsédé par la coninuité des dérivées partielles que j'en avait oublié le théorème des accroissements finis...merci pour le coup de pouce! Je vais maintenant rédiger tout ça au propre pour le cours de demain
encore merci