fonctions à plusieurs variables

[invite572ebd1a]

Bonjour voici un exercice que j'ai eu à l'examen et que je n'ai pas réussis à faire pouvez-vous me dire comment il fallait faire?
Merci.

Soit U un ouvert de R² tel que (x,y) appartient à U équivalent à (y,x) appartient à U. Soit f une fonction de classe C1 de U dans R. On définit la fonction F sur U par:

F(x,y)= (f(x,y)-f(y,x))/(x-y) si y différent de x
F(x,y)= dérivée partielle de f en x de (a,a)- dérivée partielle de f en y de (a,a) si (x,y)=(a,a)

Montrer que pour tout (x,y) appartenant à U on a
F(x,y)= intégrale de 0 à 1 de dérivée partielle de f en x de (y+t(x-y),x)dt - intégrale de 0 à 1 de dérivée partielle de f en y de (x,t(x-y))dt

En déduire que F est continue sur U.
Application: soit a>0. Calculer

lim quand (x,y) tend vers (a,a) de (x^y-y^x)/exp(x/y)-exp(y/x))

J'ai réussis à montrer la première égalité lorsque (x,y)=(a,a) mais c'est tou.
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[invite572ebd1a]

Je viens de trouvé comment montrer l'égalité pour x différent de y.
Mais je ne vois pas comment en déruire que F est continue sur U.
Pouvez-vous l'aidé svp?

[invite35452583]

Bonjour,
pour ces questions d'intégrale, poser une fonction auxiliaire permet d'éclairer et de "retrouver ses petits".
On pose g(z)=f(z;x) z étant compris entre x et y (en supposant que tout ceci soit dans U, la condition donnée sur U n'est pas suffisante mais il faut bien que ces intégrales soient définies pour pouvoir travailler)
On a g'=

On pose w=y+t(x-y), on obtient :

On obtient une égalité similaire pour l'autre intégrale et la différence vaut bien le résultat annoncé.

En déduire que F est continue n'est alors plus très difficile.

Pour l'application, je n'ai pas regardé exactement mais je pense qu'il faut passer par :

Et de là ça doit être une application directe.

[invite572ebd1a]

Merci.
Pour l'application faut-il remplacer x et y par a?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite572ebd1a]

Je n'arrive pas à faire l'application quelqu'un peut m'aider?
SVP

[invite35452583]

Pour , on pose f(x,y)=x^y.
On calcule les dérivées partielles par rapport à x et par rapport à y de f puis on l'évalue en (a;a) (donc on remplace une fois arrivé à ce point x et y par a). On obtient la limite du quotient sus-évoqué.
On fait de même pour .
La limite demandée est le quotient des deux résultats obtenus.

[invite572ebd1a]

ok merci pour l'aide.
J'ai un petit problème pour la dérivée partielle en y je ne trouve pa le résultat.
Pour la dérivée partielle en x j'ai trouvé (en a,a) a^(2(a-1))
Je n'ai fait que pour f(x,y)=x^y pour l'instant car j'ai déjà des difficultés.