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Recherche de Vecteurs Propres



  1. #1
    The Artist

    Unhappy Recherche de Vecteurs Propres


    ------

    Bonjour,

    Soit l'endomorphisme .
    Mon problème est de trouver les valeurs propres et les vecteurs propres. Pour cela je cherche l'équation caractéristique qui est . Ses racines sont évidemment 1, -1 et 3.
    Jusque là ça va...
    Mais pour les vecteurs propres je bloque. En effet je n'arrive pas à résoudre par exemple pour la VP x=3, le système homogène (A-3I)X=0 où X est le VP tant recherché. En effet det(A-3I)=0 donc c'est un système non singulier

    Quelqu'un peut m'aider svp ?

    -----
    On m'disait, j'veux être artiste, tu t'prends pour qui ? Oublie oublie !!!

  2. Publicité
  3. #2
    Ledescat

    Re : Recherche de Vecteurs Propres

    Bonsoir.
    Tu as 3 valeurs propres distinctes, donc tu sais que le sev engendré par chaque vecteur propre est une droite.
    Pour la valeur propre 3, tu obtiens le système:

    x+2y=3x
    2x+y=3y
    2y+z=3z

    -2x+2y=0
    2x-2y=0
    2y-2z=0

    Tu vois évidemment que les 2 premières équations sont proportionnelles, donc il te reste:
    2x-2y=0
    2y-z=0 qui est une droite.
    Tu cherche un vecteur de cette droite, par exemple (1,1,2).
    Cogito ergo sum.

  4. #3
    Gwyddon

    Re : Recherche de Vecteurs Propres

    Justement, ça prouve que tu obtiens au moins un sous-espace vectoriel

    Il faut que tu fixes une variable, genre x=x (oui je sais ça fait ridicule ) et ensuite tu exprime y et z en fonction de x (enfin là j'ai supposé que c'était une droite vectorielle que tu obtiendrais mais comme c'est le cas...)

    Donc tu auras l'expression du sous-espace propre sous la forme { x*(a,b,c), x dans R}

    et (a,b,c) sera ton vecteur propre.

    A noter : tu n'as rien besoin de faire pour la valeur propre 1, tu peux sans calcul en exhiber un vecteur propre


    EDIT : brûlé sur le grill par Ledescat
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  5. #4
    Ledescat

    Re : Recherche de Vecteurs Propres

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message

    EDIT : brûlé sur le grill par Ledescat
    Mais il était bon en effet d'apporter les précisions que tu as apportées pour passer du système à la recherche d'un vecteur .
    Cogito ergo sum.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    The Artist

    Re : Recherche de Vecteurs Propres

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message

    -2x+2y=0
    2x-2y=0
    2y-2z=0

    Tu vois évidemment que les 2 premières équations sont proportionnelles, donc il te reste:
    2x-2y=0
    2y-z=0 qui est une droite.
    Tu cherche un vecteur de cette droite, par exemple (1,1,2).
    Je crois que tu as fait une erreur de frappe. Si je comprends bien le système se réduit à :

    D'où (Est-ce une droite vectorielle?)
    Donc le vecteur est un vecteur propres de cette matrice A.
    Mais alors il existe une infinité de vecteurs propres?
    On m'disait, j'veux être artiste, tu t'prends pour qui ? Oublie oublie !!!

  8. #6
    Gwyddon

    Re : Recherche de Vecteurs Propres

    Citation Envoyé par The Artist Voir le message
    .
    Mais alors il existe une infinité de vecteurs propres?
    Bien sûr, en vertu de la linéarité d'un espace vectoriel

    Si X est vecteur propre d'une matrice A, alors n'importe quel a.X l'est aussi (où a est réel), avec la même valeur propre :

    Si AX = mX (m valeur propre, X vecteur propre - non nul - associé), on a

    A (bX) = b. A(X) (par linéarité de A)

    et A(X)=mX (vecteur propre)

    donc A(bX) = b.m.X

    Et b.m = m.b dans un corps commutatif, donc

    A(bX) = m.(bX)
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  9. Publicité
  10. #7
    The Artist

    Re : Recherche de Vecteurs Propres

    Merci pour vos réponse, je pense avoir bien compris.
    Je trouve 3 vecteurs propres : (0,0,1);(1,-1,1) et (1,1,1).
    J'ai vérifié en exectant la commande eigenvectors(A) sur MAxima (vous connaissez ?) et j'obtiens ces vecteurs :
    [[[3,-1,1],[1,1,1]],[1,1,1],[1,-1,1],[0,0,1]].
    D'où vient [3,-1,1]
    Est ce que j'ai oublié un vecteur propre?
    On m'disait, j'veux être artiste, tu t'prends pour qui ? Oublie oublie !!!

  11. #8
    Ledescat

    Re : Recherche de Vecteurs Propres

    Au temps poour moi! J'ai fat une erreur de recopie.
    Je vais t'avouer que je ne sais pas trop ce qu'est ce vecteur,quelle est son image ?
    Cogito ergo sum.

  12. #9
    Murzabov

    Re : Recherche de Vecteurs Propres

    Citation Envoyé par The Artist Voir le message
    [[[3,-1,1],[1,1,1]],[1,1,1],[1,-1,1],[0,0,1]].
    Je ne connais pas ce soft mais a la lecture de ce resultat ( et en particulier en faisant attention au crochets ) je postulerais que
    [3 -1 1] sont les valeurs propres
    [1 1 1] leurs multiplicite respectives
    [1,1,1],[1,-1,1],[0,0,1] leur vescteurs propres respectifs

    Pour en avoir le coeur net, essaye de rentrer dans ton soft une matrice comme l'identite, est ce que ca repond [[[1],[3]],[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]] ?

  13. #10
    The Artist

    Re : Recherche de Vecteurs Propres

    Ah oui merci c'est ça!
    On m'disait, j'veux être artiste, tu t'prends pour qui ? Oublie oublie !!!

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