Recherche de Vecteurs Propres

[invitec9750284]

Bonjour,

Soit l'endomorphisme .
Mon problème est de trouver les valeurs propres et les vecteurs propres. Pour cela je cherche l'équation caractéristique qui est . Ses racines sont évidemment 1, -1 et 3.
Jusque là ça va...
Mais pour les vecteurs propres je bloque. En effet je n'arrive pas à résoudre par exemple pour la VP x=3, le système homogène (A-3I)X=0 où X est le VP tant recherché. En effet det(A-3I)=0 donc c'est un système non singulier

Quelqu'un peut m'aider svp ?
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[invitec053041c]

Bonsoir.
Tu as 3 valeurs propres distinctes, donc tu sais que le sev engendré par chaque vecteur propre est une droite.
Pour la valeur propre 3, tu obtiens le système:

x+2y=3x
2x+y=3y
2y+z=3z

-2x+2y=0
2x-2y=0
2y-2z=0

Tu vois évidemment que les 2 premières équations sont proportionnelles, donc il te reste:
2x-2y=0
2y-z=0 qui est une droite.
Tu cherche un vecteur de cette droite, par exemple (1,1,2).

[invite9c9b9968]

Justement, ça prouve que tu obtiens au moins un sous-espace vectoriel

Il faut que tu fixes une variable, genre x=x (oui je sais ça fait ridicule ) et ensuite tu exprime y et z en fonction de x (enfin là j'ai supposé que c'était une droite vectorielle que tu obtiendrais mais comme c'est le cas...)

Donc tu auras l'expression du sous-espace propre sous la forme { x*(a,b,c), x dans R}

et (a,b,c) sera ton vecteur propre.

A noter : tu n'as rien besoin de faire pour la valeur propre 1, tu peux sans calcul en exhiber un vecteur propre


EDIT : brûlé sur le grill par Ledescat

[invitec053041c]

EDIT : brûlé sur le grill par Ledescat

Mais il était bon en effet d'apporter les précisions que tu as apportées pour passer du système à la recherche d'un vecteur .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec9750284]

-2x+2y=0
2x-2y=0
2y-2z=0

Tu vois évidemment que les 2 premières équations sont proportionnelles, donc il te reste:
2x-2y=0
2y-z=0 qui est une droite.
Tu cherche un vecteur de cette droite, par exemple (1,1,2).

Je crois que tu as fait une erreur de frappe. Si je comprends bien le système se réduit à :

D'où (Est-ce une droite vectorielle?)
Donc le vecteur est un vecteur propres de cette matrice A.
Mais alors il existe une infinité de vecteurs propres?

[invite9c9b9968]

.
Mais alors il existe une infinité de vecteurs propres?

Bien sûr, en vertu de la linéarité d'un espace vectoriel

Si X est vecteur propre d'une matrice A, alors n'importe quel a.X l'est aussi (où a est réel), avec la même valeur propre :

Si AX = mX (m valeur propre, X vecteur propre - non nul - associé), on a

A (bX) = b. A(X) (par linéarité de A)

et A(X)=mX (vecteur propre)

donc A(bX) = b.m.X

Et b.m = m.b dans un corps commutatif, donc

A(bX) = m.(bX)

[invitec9750284]

Merci pour vos réponse, je pense avoir bien compris.
Je trouve 3 vecteurs propres : (0,0,1);(1,-1,1) et (1,1,1).
J'ai vérifié en exectant la commande eigenvectors(A) sur MAxima (vous connaissez ?) et j'obtiens ces vecteurs :
[[[3,-1,1],[1,1,1]],[1,1,1],[1,-1,1],[0,0,1]].
D'où vient [3,-1,1]
Est ce que j'ai oublié un vecteur propre?

[invitec053041c]

Au temps poour moi! J'ai fat une erreur de recopie.
Je vais t'avouer que je ne sais pas trop ce qu'est ce vecteur,quelle est son image ?

[invite57e5945e]

[[[3,-1,1],[1,1,1]],[1,1,1],[1,-1,1],[0,0,1]].

Je ne connais pas ce soft mais a la lecture de ce resultat ( et en particulier en faisant attention au crochets ) je postulerais que
[3 -1 1] sont les valeurs propres
[1 1 1] leurs multiplicite respectives
[1,1,1],[1,-1,1],[0,0,1] leur vescteurs propres respectifs

Pour en avoir le coeur net, essaye de rentrer dans ton soft une matrice comme l'identite, est ce que ca repond [[[1],[3]],[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]] ?

[invitec9750284]

Ah oui merci c'est ça!