aide à comprendre

[rajamia]

salut.
je veux savoir la signification profonde de : lorsque ne divise pas .

et merci.
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[Romain-des-Bois]

Salut !

Lorsqu'il existe A (un polynôme) tel que Q=A.P on dit que P|Q (P divise Q)

De manière plus générale, on définit cela avec les idéaux :
A[X] désigne l'anneau des polynômes à coeffs dans A

Théorème :
Tous les idéaux de A[X] sont engendrés par un polynôme (on dit que A[X] est principal). On les note (P)

Lorsque (Q) est inclus dans (P) (l'idéal engendré par Q est inclus dans l'idéal engendré par P) on dit que P divise Q


Voilà !

EDIT : on définit ainsi pgcd et ppcm : (pgcd(P,Q)) = (P)+(Q) et (ppcm(P,Q)) = (P) inter (Q)

[rajamia]

ok je voix que je me suis mal exprimée ou mal présenté ma question. je voulais pas dire par que divise mais quotienté par voila.

[invite1237a629]

En gros, cet ensemble P/Q correspond à tous les restes possibles de la division euclidienne de P par Q.
Donc si Q est de degré n, l'ensemble P/Q est l'ensemble des polynômes de degré maximum n-1.

Par contre, je n'ai jamais été douée pour les définitions avec anneaux etc... Et surtout, j'ai pas vu ça sous la forme P(x)...

Ca correspond plus à ce que tu cherches ?

Edit : mon cours d'arithmétique >> http://www.edu.upmc.fr/maths/L2/lm22...m220-Kraus.pdf (P.75)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

Plutôt que "ensemble" : "anneau".

[rajamia]

En gros, cet ensemble P/Q correspond à tous les restes possibles de la division euclidienne de P par Q.
Donc si Q est de degré n, l'ensemble P/Q est l'ensemble des polynômes de degré maximum n-1.

je pense que ceci est vrai lorsque divise ? mais pas toujours.

[invite4f9b784f]

Je pense que c'est un peu comme l'anneau Z/nZ qui n'est autre que l'ensemble des classes d'équivalences des restes inférieurs à n de la division euclidéenne d'un élément de Z par n..

[invite1237a629]

je pense que ceci est vrai lorsque divise ? mais pas toujours.

Non, Q est fixé et P correspond à tous les polynômes possibles et imaginables.
Généralement, on n'utilise pas P(x), mais F_n[x] pour dire qu'on prend tous les polynômes avec les coefficients appartenant à Z/nZ.

Je pense que c'est un peu comme l'anneau Z/nZ qui n'est autre que l'ensemble des classes d'équivalences des restes inférieurs à n de la division euclidéenne d'un élément de Z par n..

Si on cherche une analogie, oui, c'est ça

[invite1237a629]

prend

Peut prendre *

Mais l'étude doit pouvoir se généraliser à tous les polynômes, et pas ceux limités à certains coefficients =)

Lorsqu'on parle de division euclidienne, ça ne veut pas forcément dire qu'un polynôme divise l'autre... !

Exemple : Q = X^3-X+1
Si on a P(X) = X^4 :
X^4 = X(X^3-X+1) + X^2-X

Dans F₃[X]/(Q), P(X) s'écrira X^2-X = X^2+2X (sorte de modulo ou de classe si on veut)

[rajamia]

oui je suis tt a fait d'accord, mais si je voudrais remplacer par un polynôme que dois-je faire, qui sera ce polynôme? (dans l'exemple que t'as donné biensur)

[invite1237a629]

X^2-X, le reste dans la division euclidienne de P par Q.

Si on prend P et Q comme j'ai dit.
Mais bon, je n'ai pas vu ça sous la forme P/Q, donc ce que je dis ne correspond peut-être pas à ce que tu recherches.

(par contre, pour le F₃, c'était aussi un exemple et c'est plutôt "secondaire")

[rajamia]

ce qui tu viens de dire est bon, mais ce quotient me gène, je veux le remplacer par un polynôme et je ne sais pas comment faire voila.merci en tt cas

[invite1237a629]

Quel quotient ? oO
Et comment sais-tu que c'est bon ? :/

Oé j'suis quand même curieuse :P

Tout ce qu'il faut retenir, c'est que P/Q correspond au reste dans la division euclidienne de P par Q...
Comme dans Z/nZ, no ?

[rajamia]

ok c bon lorsque on travaille modulo quelque chose ,je suis d'accord qu'on remplace par le reste, mais voila je m'explique

on a : si on quotient par on trouvera donc que allons nous considérer dans ce cas?

[invite1237a629]

Eh bien (enfin pour moi...) ce sera r(x).
On sait que r(x) a un degré strictement inférieur à celui de q(x) (division euclidienne : r(x) est forcément < à q(x))
Donc r(x) = r(x) "modulo q"

'fin pour moi il faut pas diviser par q, juste partir sur la définition : "p(x)/q(x) = reste dans la division euclidienne de p par q, c'est-à-dire r"

[rajamia]

mmmmmmmmm!! je ne serai pas d'accord

[invite1237a629]

Sur quoi ?

L'ensemble qu'on détermine comme P/Q est le reste des divisions euclidiennes de P par Q, ça c'est sûr ^^
Ensuite, si on a P et Q donnés, on a juste à dire la même chose, non ? :P

Dans Z/nZ, lorsque tu quotientes par nZ, tu ne fais pas la division en elle-même, si ????? Tu peux trouver l'inverse dans l'anneau, tout ça, mais c'est fastidieuuuuuuuux ^^