Calcul d'inégalité "presque" lipschitzienne

[inviteefb6206a]

Voici l'inégalité:
p€N*,
B€R+,
A={x+iy/ x et y reels, |x|=<B et |y|=<B},
déterminer un reel k (dépendant de B) tel que:
pour tout z et z'€A |z'^p-z^p|=<k|z'-z|

C'est surtout le "dépendant de B" qui me trouble enfin voila ce que j'ai fait:
J'ai d'abord pensé à factoriser, je trouve:
z'^p-z^p=(z'-z)[somme de k=0 à p-1 des ((z'^k)(z^(p-k-1))]

Suis-je avancé? Bof..
J'ai ensuite penser à envisager le pb plus géometriquement: A est un carrée de coté 2B centré en 0, alors il y aurait moyen de se servir de B en disant quez'-z est l'affixe d'un vecteur, et que plus grand vecteur est la diagonale, qui a du B dans son affixe et qui est utile pour majorer qque chose...

Je suis bloqué
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[invite57a1e779]

La factorisation que tu as obtenue te fournit, en passant aux modules, l'inégalité

Pour z dans A, , et de même pour z'.
Tu en déduis avec

[inviteefb6206a]

Oh, merci beaucoup
Alors maintenant je pense pouvoir en deduire sans trop de mal l'existence de Kp€R+ tel que pour tout z et z': |P(z')-P(z)|=<Kp|z'-z|
où: P(z)=az^n+bz^(n-1)+...+cz+d, où a,b,c et d sont complexes.
Je pense qu'en regroupant les termes de meme degré, il suffit de reprendre l'inegalité précédente et ca va tout seul.
Merci encore, ce probleme avance