Topologie 1er cycle

[inviteff2730c0]

Bonjour à tous,

J' etudie par correspondance et afin de mieux comprendre mon cours, quelqu'un aurait il la gentillesse de m' expliquer avec simplicité les notions d' ensemble intérieur, adhérent, bord/frontiere en topologie. J' ai un peu pres compris la notion de boule mais j 'ai du mal à me faire une " image " personnelle de ces notions!!
Si en plus, on peut me donner des pistes ou des astuces pour commencer des exos du type: trouver l ' adherence le bord et l' interieur des ss ensemble de R tq E=N ou par exemple E=]0;1]...

Merci d' avance
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[invite986312212]

intérieur de E: réunion des ouverts contenus dans E
adhérence: intersection des fermés contenant E
frontière: différence des précédents

[invitee51caab2]

Hello,

La notion de boule de rayon r et de centre x est celle qu'on peut définir naturellement à partir de celle de distance : c'est l'ensemble des bidules qui sont au plus à une distance r de x. Evidement, ça peut être abstrait dans des espaces de fonctions par exemple ; on ne peut pas toujours la représenter à la visualiser. Mais la notion est simple.

Pour compléter ce que dit ambrosio, l'intérieur, c'est aussi le plus grand ouvert contenu dans E. C'est probablement plus simple vu comme ça. On peut démontrer sans trop de difficulté l'équivalence entre les deux définitions.
De même, l'adhérence est le plus petit ouvert contenant E.

Pour commencer simplement, avec E = ]0,1], quel seraient l'adhérence et l'intérieur selon toi ? Même sans démonstration, même intuitivement ?

[invite769a1844]

Hello,

La notion de boule de rayon r et de centre x est celle qu'on peut définir naturellement à partir de celle de distance : c'est l'ensemble des bidules qui sont au plus à une distance r de x. Evidement, ça peut être abstrait dans des espaces de fonctions par exemple ; on ne peut pas toujours la représenter à la visualiser. Mais la notion est simple.

Bonjour, attention les boules ne sont pas définies dans tous les espaces de fonctions, seulement dans les espaces qui sont métriques.

Pour compléter ce que dit ambrosio, l'intérieur, c'est aussi le plus grand ouvert contenu dans E. C'est probablement plus simple vu comme ça. On peut démontrer sans trop de difficulté l'équivalence entre les deux définitions.
De même, l'adhérence est le plus petit ouvert contenant E.

Comment tu définis le "plus grand ouvert" contenu dans E? Pour moi c'est la réunion de tous les ouverts contenus dans E, en fait c'est la même définition il n'y a rien à montrer me semble-t-il.

L'adhérence c'est le plus petit fermé contenant E (ça devait être une coquille )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee51caab2]

Bonjour, attention les boules ne sont pas définies dans tous les espaces de fonctions, seulement dans les espaces qui sont métriques.

A son niveau, je pense que son étude se limite pour l'instant aux espaces métriques. Et ma phrase sous-entendait justement que l'espace était métrique

Sinon, y a effectivement de la coquille !

[invite57a1e779]

Comment tu définis le "plus grand ouvert" contenu dans E? Pour moi c'est la réunion de tous les ouverts contenus dans E, en fait c'est la même définition il n'y a rien à montrer me semble-t-il.

Personnellement, je le définis comme "le plus grand", c'est à dire comme l'élément maximum de l'ensemble des ouverts contenus dans E, ordonné par inclusion.
On envisage la réunion des ouverts contenus dans E pour montrer que cet élément maximum existe...

[inviteff2730c0]

Merci beaucoup pour toutes ces reponses.
Mais un truc me chiffonne encore: interieur et ouvert n' est ce pas la meme chose? idem pour fermé et adherence?

[invite769a1844]

Merci beaucoup pour toutes ces reponses.
Mais un truc me chiffonne encore: interieur et ouvert n' est ce pas la meme chose? idem pour fermé et adherence?

Non pas du tout. dans un espace topologique toutes les parties de E ont une adhérence et un intérieur, mais elles ne sont pas forcément ouvertes ou fermé.


Par exemple dans IR,

tu prends la partie ]0,1] qui est ni fermée ni ouverte, son intérieur est ]0,1[ et son adhérence est ]0,1[.

[invite57a1e779]

Non pas du tout. dans un espace topologique toutes les parties de E ont une adhérence et un intérieur, mais elles ne sont pas forcément ouvertes ou fermé.


Par exemple dans IR,

tu prends la partie ]0,1] qui est ni fermée ni ouverte, son intérieur est ]0,1[ et son adhérence est ]0,1[.

Son adhérence est [0,1] !!!

[invite769a1844]

Son adhérence est [0,1] !!!

oui pardon

[inviteff2730c0]

merci, y a plus qu' à bosser!!!

[inviteff2730c0]

Juste pour voir si j' ai bien compris! la frontière est 0 ou l' ensemble vide?

[invite769a1844]

Juste pour voir si j' ai bien compris! la frontière est 0 ou l' ensemble vide?

la frontière de quel ensemble dans quel espace?

[invite57a1e779]

la frontière de quel ensemble dans quel espace?

La frontière de l'intervalle ]0,1] est la paire {0,1}

[invite35452583]

J' etudie par correspondance et afin de mieux comprendre mon cours, quelqu'un aurait il la gentillesse de m' expliquer avec simplicité les notions d' ensemble intérieur, adhérent, bord/frontiere en topologie. J' ai un peu pres compris la notion de boule mais j 'ai du mal à me faire une " image " personnelle de ces notions!!

Je sens encore le cours qui part des boules, des ouverts et fermés pour arriver à intérieur, adhérence, frontière. Bien qu'un peu long, j'espère que ce qui suit (qui prend le chemin inverse "adhérence, intérieur, frontière" vers "ouvert-fermé") pourra te servir.
Prenons un espace métrique facile à visualiser (y compris certaines zones) : la surface terrestre idéalisée (épaisseur=0, pas de voie aérienne, pas de voie souterraine, pas d'eaux territoriales*,...). Il faut évidemment régulièrement idéalisé et réduire certains lieux à un point.
Marseille est-elle topologiquement à l'intérieur de l'Europe ? Non, car on peut aller à Marseille par la méditerranée qui n'est pas en Europe (cf.*). De même, Marseille n'est topologiquement à l'intérieur ni de la France, ni de PACA, ni des bouches-du Rhône... Par contre, Marseille est à l'intérieur du bassin méditerranéen (dans le sens large donc en comprenant la méditerranée elle- même) car quelque soit la manière de se rendre à Marseille, on est d'abord dans ce bassin avant d'arriver à Marseille.
Strasbourg (ici réduit à un point, Strasbourg va servir à illustrer un point particulier) est topologiquement à l'intérieur de l'Europe (quelque soit la manière de se rendre à Strasbourg, on est d'abord en Europe avant d'arriver à Strasbourg) mais n'est pas topologiquement à l'intérieur de la France ou de l'Alsace (il suffit d'arriver par l'Allemagne).
Est-ce qu'on peut se rendre à Marseille par un chemin entièrement français (évidemment oui, il suffit de se placer dans cette ville et d'y rester, elle est en France même si elle n'est pas topologiquement à l'intérieur). Marseille fait donc partie de l'adhérence de la France (comme tous les autres lieux français).
Est-ce qu'on peut se rendre aussi près que l'on veut d'un point du Rhin (réduit à une ligne sans épaisseur) près de Strasbourg (non réduit à un point) par un trajet entièrement en France? oui. Ces points du Rhin font partie de l'adhérence de la France bien que n'étant pas en France (cf.*, pratique topologiquement cette convention ).
De même l'ambassade du Canada (réduit à un point) à Paris fait partie de l'adhérence de la France sans être territoire français...
A remarquer que l'ambassade fait partie de l'adhérence de la zone de la planète non française (car sont des lieux non français, il suffit donc de se placer sur l'ambassade et de ne plus bouger). Mais Marseille fait également partie de l'adhérence de la zone non française bien que française. L'ambassade et Marseille font partie de la frontière française (et de la frontière de la zone non française).
Et Strasbourg ? Tout dépend de la manière qu'on idéalise. Si Strasbourg est réduit à un point, le Rhin est laissé indemne, alors Strasbourg est en France donc dans l'adhérence de la France et fait partie aussi de l'adhérence de la zone non française. Donc "Strasbourg-point" est à la frontière de la France (et de la Z.n.F.). Maintenant, si Strasbourg est laissé comme ville, alors en un point donné de Strasbourg on a beau être proche de la zone non française, on peut toujours tracer un disque autour de ses pieds entièrement dans Strasbourg et donc en France. Situé ainsi, pour parvenir jusqu'à nous il faut d'abord entrer en France pour nous atteindre, on ne fait pas partie de l'adhérence de la zone non française et donc on n'est pas topologiquement à la frontière. Pour être à la frontière il ne faut pas simplement être proche, il faut être infiniment proche.
On voit donc que si on considère la France, on considère implicitement la zone non française, ces deux zones n'ont aucun point en commun. Maintenant topologiquement, on considère aussi 3 autres zones n'ayant aucun point commun (et qui n'ont aucune raison, a priori, d'être égales à une des deux premières) :
i) l'intérieur de la France, entièrement constitué de point français
ii) la frontière France-Z.n.F, constitué de points français et de points non français
iii) l'intérieur de la Z.n.F (I(Z.n.F)) ou extérieur de la France, entièrement constitué de points non français.
L'adhérence est l'union de l'intérieur et de la frontière, elle contient tous les points de la zone considérée.
Et on peut constater que l'intersection de l'adhérence de la France et de l'adhérence de la Z.n.F. est la frontière de ces zones.

Maintenant changeons d'espace, et prenons une pièce d'une maison non nettoyée depuis une semaine. Et on considère la zone poussière, son complémentaire est donc la zone qu'on appelera "propre" (même si une fée du logis s'arracherait les cheveux à entendre ce terme). On idéalise cette pièce ainsi : on est dans une situation où tout point de la pièce est infiniment proche de la zone poussière, comme il est infiniment proche de la zone propre. Un grain de poussière peut-il être à l'intérieur de la zone poussière ? non si on trace un petit disque autour de lui, il y a toujours des points popres vu l'idéalisation qui a été faite. De même, un point propre n'est jamais à l'intérieur de la zone propre. L'intérieur de la zone poussière est donc vide ainsi que l'intérieur de la zone propre. L'adhérence de chacune de ces zones est la pièce est toute entière. La frontière constitué des points qui sont infiniment proches des deux zones est ausi la pièce toute entière.
On retrouve néanmoins, intérieur des deux zones et frontière n'ont aucun point commun. L'intersection des deux adhérences=frontière...
Par contre, l'idée de chemin (continu), que le 1er exemple pouvait laisser sous-entendre, ne peut plus être utilisé, difficile et peut-être même impossible de tracer un chemin dans la zone propre aboutissant à la limite sur un grain de poussière. Cette idée va devoir être oubliée pour la remplacer par des chemins à saute-mouton (càd des suites de points) . (Si on a un chemin continu comme un trajet à pied en territoire français pour se rendre à l'ambassade, il suffit de considérer la suite de points formés par les pas). Par contre, les idées "infinimiment proche" et être à l'intérieur restent.

Mathématisons ces notions d' "infiniment proche" et "être à l'intérieur".
Soit (E,d) un espace métrique (X est un ensemble de points, d une distance) et A une sous-partie de E.
On dit d'un point x de E qu'il est infiniment proche de A (ou plus couramment dit : x est dans l'adhérence de A) s'il existe une suite (x_n) d'éléments de A tel que d(x_n,x) tend vers 0.
On peut remarquer tout de suite qu'un point x de A est infiniment proche de A : il suffit de prendre x_n=x pour tout n. Mais un point peut être infiniment proche de A sans être dans A (""ex : x=l'ambassade, A=France"").
Maintenant, ne pas être infiniment proche est donc "il n'existe aucune suite (x_n) d'éléments de A telle que d(x_n,x) converge vers 0", ce qui est bien peu manipulable.
Aussi, montrons le résultat suivant : "x n'est pas infiniment proche de A" équivaut à "il existe un réel r>0 tel que d(x,r) ne contient aucun point de A". (Ici, d(x,r)={y de E tels que d(x,y)<r}, inégalité stricte)
En effet, si ce réel r existe alors pour toute suite (x_n) d'éléments de A vérifie pour tout n d(x_n,x)>=r (puisque x_n n'est pas d(x,r)) et donc la suite d(x_n,x) ne converge pas vers 0.
Inversement, si ce réel r n'existe pas, alors pour tout entier naturel n, d(x,1/n) contient un élément x_n de A. Cette suite (x_n) vérifie pour tout n 0<=d(x_n,x)<1/n d'où par le théorème d'encadrement (ou théorème des gendarmes) d(x_n,x) converge vers 0. Ainsi, x est infiniment proche de A.
L'intérieur (ou ouverture) de A=I(A)={x de E tel qu'il existe r>0 vérifiant d(x,r) est inclus dans A}.
L'adhérence (ou fermeture) de A=F(A)={x de E infiniment proche de A}
La frontière de A=fr(A)={les points de F(A) qui ne sont pas dans I(A)}
Les notations classiques sont videmment avec des petits ronds (intérieur), des petites barres (adhérence) placés au-dessus (mais j'ai la flemme de me battre avec Latex )
On peut remarquer :
i) I(A) est inclus dans a car d(x,r) contient toujours au moins le point x.
et en notant
On note A' le complémentaire de A dans E (la partie de E formée par les points qui ne sont pas dans A).
ii) F(A) et I(A') sont complémentaires car d'après l'équivalence montrée ci-avant I(A')={x de E qui ne sont pas infiniment proches de A} donc tout point x de E est soit dans F(A) soit dans I(A').
iii) fr(A)=F(A) inter F(A') car F(A') et I(A) sont complémentaires donc "ne pas être dans I(A)="être dans F(A'))
iv) tout point x de E est dans une et une seule des parties suivantes : I(A), fr(A), I(A')
v) F(A) est composée des deux parties n'ayant aucun point en commun (=disjointes) I(A) et fr(A).
v) les points ii), iii), iv) et v) illustrent bien que I(A), fr(A), F(A) dépendent de A' càd de l'espace E pour lequel A est une sous-partie. I({0})={0} dans (Z,l l) car d(0,1/2) ne contient que le seul entier 0, mais dans (R,l l) I({0})=vide car (au choix : il existe toujours un réel non nul dans d(0,r) pour tout réel>0, r/2 par exemple, ou la suite (xn=1/n) tend vers 0 tout en étant composé d'éléments qui ne sont pas dans 0}).

Propriété de l'intérieur, de l'adhérence, ouverts, fermés, autre définition de l'intérieur et de l'adhérence :
on va retrouver ce que on a du te donner en cours
Propriété 1 : L'intérieur de l'intérieur = l'intérieur ou I(I(A))=I(A)
propriété 2 : L'adhérence de l'adhérence=l'adhérence ou F(F(A))=F(A)
preuves données malgré leurs difficultés car ce sont deux exemples classiques de techniques utilisées en topologie.

Preuve de 1) : on a déjà I(I(A)) qui est dans I(A), reste à montrer que l'on ne perd pas de points en prenant une 2ème fois l'intérieur. Soit x dans I(A), on sait qu'il existe r>0 tel que d(x,r) est inclus dans A. Il reste à trouver une boule qui elle soit non pas simplement incluse dans A mais dans I(A). On va montrer que d(x,r) elle-même convient, càd que tous les points de d(x,r) sont dans I(A). En effet soit x' dans d(x,r), on a donc d(x,x')<r et r'=r-d(x,x')>0. Maintenant, soit x" dans d(x',r'), on a d(x,x")<=d(x,x')+d(x',x") < d(x,x')+r'=r donc x" est dans d(x,r) et donc dans A.
On remonte d(x',r') est dans A donc x' est dans I(A), et ceci pour tout x' de d(x,r). Cette boule est donc incluse dans I(A) et x dans I(I(A)). (Sur un dessin, en tout point intérieur d'un disque, on peut dessiner un petit disque autour de ce point inclus dans le premier).

Preuve de 2) (la plus dure, j'en donne une autre après) : on a déjà F(A) inclus dans F(F(A)), il reste à montrer que l'on ne gagne pas de points en prenant une deuxième fois l'adhérence. Soit x dans F(F(A)), il existe donc une suite d'éléments (x_n) de F(A) tel que d(x_n,x) tend vers 0. Ces éléments x_n sont dans F(A) il existe donc pour chacun d'eux une suite (y(n)_m) d'éléments de A cette fois (et non plus simplement de F(A) ) telle que d(y(n)_m, x_n) tend vers 0 quand m tend vers 0. On va utiliser ce que l'on appelle un argument diagonal. Pour n donné, puisque d(y(n)_m,x_n) tend vers 0, il existe m(n) tel que d(y(n)_m(n),x_n)<1/n. On pose z_n=y(n)_m(n) qui sont des éléments de A. On a évidemment d(z_n,x_n)<1/n et donc 0<=d(z_n,x)<=d(z_n,x_n)+d(x_n,x)<=1/n+d(x_n,x). Le membre de droite est la somme de deux termes qui convergent vers 0 quand n tend vers l'infini donc tend vers 0. Donc d'après le théorème d'encadrement d(z_n,x) tend vers 0 et x est dans F(A).
Preuve de 2) à partir de 1) : on a F(A) qui est le complémentaire de I(A'), de même F(F(A)) est le complémentaire de I(F(A)')=I(I(A'))=I(A') donc a même complémntaire que F(A) donc lui est égal. (On peut de même montrer 2) à partir de 1)).

Remarque, on n'a pas en général fr(fr(A))=fr(A) (cf. l'exemple de la pièce empoussiérée fr((fr(poussière))=fr(pièce)=v ide.) Mais on a F(fr(A))=fr(A).

Propriété 3 : si A est inclus dans B alors I(A) est inclus dans I(B), F(A) est inclus dans F(B) (pas de résultat général pour la frontière).
Les arguments sont pour l'intérieur : si une boule d(x,r) est inclus dans A elle l'est aussi dans B ;
et pour l'adhérence : une suite (x_n), qui tend vers x, est une suite d'éléments de A elle est aussi une suite d'éléments de B.

Définition des ouverts : une sous-partie U de (E,d) est dite ouverte si I(U)=U.
exemples : I(A) pour toute sous partie A, E et le vide, d(x,r) pour tout x de E et tout réel>0 (laissés en exercice plutôt facile)
Définition des fermés : une sous-partie C de (E,d) est dite fermée si F(C)=C.
exemples : F(A) pour toute sous partie A, E et le vide, d'(x,r)={y de e ; d(x,y)<=r} pour tout réel r>=0 et tout x de E. (laissés en exercice)
Un ouvert est une sous-partie U telle qu'on ne peut pas converger vers un de ses points tout en restant dehors de U (exemple ]0;+infini[ dans (R,l l), si x(truc)<=0 alors x(truc) peut converger il ne devra pas subitement >0, nul tout au mieux).
Un fermé est une sous-partie F telle que si on converge en restant (avant la limite) dans F alors on converge vers un point de F (exemple : [0,+infini[ dans (R,l l) si x(truc)>=0 alors si x(truc) est une quantité qui converge sa limite est aussi >=0).

Il s'en suit que I(A) est un ouvert inclus dans A, propriété : c'est le plus grand de tous. En effet, soit U un ouvert inclus dans A, on a alors (prté 3) I(U) inclus dans I(A) or I(U)=U.
Il s'en suit que F(A) est un fermé contenant A, propriété : c'est le plus petit de tous. Même type de preuve.
Si on connaît l'ensemble des ouverts (cet ensemble s'appelle une topologie), on peut définir l'intérieur par cette propriété : I(A)=plus grand ouvert contenu dans A.
Si on connaît l'ensemble des fermés, on peut définir l'adhérence par cette propriété : F(A)=plus petit fermé contenant A.
On définit alors fr(A) grace à l'égalité fr(A)=F(A)\I(A).
On va voir que quand on tombe sur un ouvert ou un fermé connu, ça simplifie bien la tâche mais ces propriétés sont généralement insuffisantes pour traiter la détermination des intérieurs, adhérences et autres frontières.

Propriété : une partie A de (E,d) est ouverte si et seulement si A' est fermée.
Simple conséquence de I(A) et F(A') sont complémentaires. F(A)=A implique donc que F(A) et A ont même complémentaires càd I(A')=A'. Inversement, I(A)=A implique I(A)'=A' donc F(A')=A'.
Il suffit donc de connaître les ouverts pour connaître les fermés et vice-versa.

[invite35452583]

Assez de théorie :

Si en plus, on peut me donner des pistes ou des astuces pour commencer des exos du type: trouver l ' adherence le bord et l' interieur des ss ensemble de R tq E=N ou par exemple E=]0;1]...

Merci d' avance

Intérieur (="d(x,r)" =plus grand ouvert contenue)
application : intuitivement, est-ce que des éléments de ]0,1] sont complètement entourés par ]0,1], oui tous les éléments de ]0,1[ sont à une distance non nul de son complémentaire, r dans ]0,1] côté gauche au moins r fixe* et >0 côté droit au moins 1-r fixe* et >0 (* : ne dépend pas de l'élément du complémentaire choisi)=>candidat : ]0,1[
Et x=1 ? Deux manières de montrer qu'il n'y est pas
i) soit d(1,r) une boule centrée en 1, 1+r/2 est dans cette boule et est >1 donc n'est pas ]0,1] donc d(1,r) n'est pas incluse dans ]0,1] et ceci pour tout r donc 1 n'est pas à l'intérieur. (preuve directe=on montre que 1 ne convient pas à la définition d'intérieur)
ii) soit la suite xn=1+1/n, elle converge vers 1 car 1/n tend vers 0. Or, 1+1/n>1, donc les éléments xn ne sont pas dans ]0,1] 1 est donc l'adhérence du complémentaire de ]0,1] et n'est donc pas à l'intérieur de ]0,1].
rédaction de la preuve :
]0,1[ est un ouvert contenu dans ]0,1], l'intérieur de ]0,1] contient donc ]0,1[ et est contenu dans ]0,1].
De plus, 1 n'est pas n'est pas à l'intérieur (preuve 1) ou 2))
Donc I(]0,1])=]0,1[

Adhérence (={limites de suites} = plus petit fermé)
]0,1] est dans son adhérence.
0 est dans l'adhérence de ]0,1], en effet xn=1/n est une suite d'éléments de ]0,1] qui converge vers 0.
[0,1] est donc l'adhérence de ]0,1], de plus c'est un fermé, en effet si on considère une suite (xn) d'éléments de [0,1] qui converge vers x, on a 0<=xn<=1 et donc par le théorème d'encadrement 0<=x<=1, càd x est dans [0,1].
Donc F(]0,1])=[0,1]

Frontière : on a fr(]0,1])=[0,1]\]0,1[={0,1}

Ainsi la caractérisation "plus grand ouvert" ou "plus petit fermé" permet de régler le cas de beaucoup de points (les points ]0,1[ pour l'int), les points (]0,1] pour l'adhérence) et permet de conclure quand on a réglé les points litigieux (ici, 1 ou 0), ce qui se fait grace à la caractérisation par les suites ou par les boules contenues.
Parfois, l'utilisation de "plus grand ouvert" ou "plus petit fermé" n'est pas aisée car on ne sait pas montrer directement que tel ensemble est ouvert ou fermé. Une technique souvent efficace est de passer par le complémentaire.
Exemple : montrer directement que N est fermé n'est pas nécessairement évident quand on manque d'expérience, par contre montrer que R\N est ouvert est plus facile (rappel : un intervalle ouvert est un ouvert de (R,l l), une union quelconque d'ouverts est un ouvert).
En outre, il est souvent plus facile d'utiliser la caractérisation des fermés par les suites que la notion de boules entièrement contenues, par exemple : il est plus facile pour certains (pas tous) de trouver une suite de non entiers convergeant vers un entier que de montrer par l'absurde qu'aucune boule centrée en un entier est contenu dans N. Rappel : si on montre que F(R\N)=R alors on a aussi I(N)=R\R=vide.

[inviteff2730c0]

Je te remercie mille fois Homotopie pour ces explications très claires et du temps que tu as consacré pour me répondre!
C' est un vrai petit cours qui sera très certainement utile à plein d' autres étudiants: les exemples sont supers.
A tres bientôt