Topologie !

invite52487760 · 16/11/2007, 15h30

Bonjour :
Soient $\text{[math]}$ un espace topologique, $\text{[math]}$ une relation d'équivalence sur $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ la surjection canonique, $\text{[math]}$ est muni de la topologie quotient de $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ Montrer que si $\text{[math]}$ est séparé, le graphe $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ est fermé dans $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ Si l'on suppose $\text{[math]}$ ouverte ( i.e : $\text{[math]}$ ouverte ), établir la réciproque.
P.S : Il reste encore d'autres questions à poser, mais on fait d'abord ça !! après on passe à la suite !!
Merci d'avance de votre aide !!

invite52487760 · 16/11/2007, 15h31

Est ce que vous pouvez me donner juste quelques pistes pour repondre à ces questions ?!
Merci d'avance !!

invite52487760 · 16/11/2007, 16h23

Help pls !!

**Romain-des-Bois** · 16/11/2007, 16h33

Salut !

Pour la 1)a), utilise déjà la définition de "séparé"... Ca ne m'a pas l'air trop compliqué...

Romain

EDIT : finalement... mouaif...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite52487760 · 16/11/2007, 16h57

oui, mais je vois toujours pas comment debuter !! On considère un point $\text{[math]}$ du complementaire et on montre qu'il existe un ouvert contenu dans ce complementaire contenant $\text{[math]}$ ? c'est ça ?

invite52487760 · 16/11/2007, 17h04

C'est quoi le complementaire de $\text{[math]}$ : le graphe de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ ?
C'est l'enmble des points qui ne sont pas en relation avec eux même ? c'est ça ?
$\ (x,y) \in \complement_{E \times E} C \Longrightarrow x \not \mathcal{R} y $ , c'est ça ?

**Romain-des-Bois** · 16/11/2007, 17h46

Re !

Le graphe de R, c'est l'ensemble des classes d'équivalences
(si x dans E, [x] (classe de x) est l'ensemble des éléments de E en relation avec x)
Tu veux montrer que C est fermé... si tu procèdes brutalement (ie montrer que le complémentaire est ouvert), tu prends un élément de (ExE)^c et tu trouves une boule ouverte centrée en ce point et contenue dans (ExE)^c
un élément de (ExE)^c, tu peux le construire comme ceci :
Soit x dans E, et soit y dans E tel que y n'est pas dans [x] alors le couple (x;y) est dans (ExE)^c
Maintenant, il faut utiliser la séparabilité de E/R pour trouver le rayon de ta boule ouverte

...

Romain

invite52487760 · 16/11/2007, 18h54

Salut "Romain" :
Pour l'instant, on ne travaille que dans des espaces topologiques, et pas metrique, donc on a pas droit d'utiliser les boules et les rayons de boules ... etc !! sinon, ici tu parles de methode "brutale"

!! Est ce qu'on peut faire plus simple que ça ?!
Une autre petite remarque : avec cette "methode brutale", on prend un élément du complementaire du graphe $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ et pas un element de $\text{[math]}$ , ( d'après ce que tu viens de dire ) , non .. ? et un élément appartenant au complementaire du graphe $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , qu'est ce que celà veut dire ?
Merci d'avance !!

invite52487760 · 16/11/2007, 18h56

Envoyé par Romain-des-Bois

Re !

un élément de (ExE)^c, tu peux le construire comme ceci :
Soit x dans E, et soit y dans E tel que y n'est pas dans [x] alors le couple (x;y) est dans (ExE)^c

Romain

$\text{[math]}$ ??

invite52487760 · 16/11/2007, 19h27

montrons que le complémentaire de $\text{[math]}$ est ouvert. Soit $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ . Puisque $\text{[math]}$ est séparé il existe des ouverts $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Soit alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , on a alors ; $\text{[math]}$ reste à comprendre pourquoi $\text{[math]}$ est un ouvert de $\text{[math]}$ qui est inclus dans le complémentaire de $\text{[math]}$ .
Par définition de la topologie quotient ! donc l'image inverse d'un ouvert de la topologie qutient est un ouvert de la topologie de l'espace de depart $\text{[math]}$ ici c'est $\text{[math]}$ .. la même chose pour $\text{[math]}$ .. donc $\text{[math]}$ est un ouvert elementaire de $\text{[math]}$
Pourquoi il est dans le complementaire de $\text{[math]}$ parcque si on prend un couple $\text{[math]}$ , il n'est pas dans le graphe de $\text{[math]}$ , c'est à dire $\text{[math]}$ n'est pas en relation avec $\text{[math]}$ .. c'est bien ça ?
Merci en tous cas !!

**invite35452583** · 16/11/2007, 19h55

Envoyé par chentouf

montrons que le complémentaire de $\text{[math]}$ est ouvert. Soit $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ . Puisque $\text{[math]}$ est séparé il existe des ouverts $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Soit alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , on a alors ; $\text{[math]}$ reste à comprendre pourquoi $\text{[math]}$ est un ouvert de $\text{[math]}$ qui est inclus dans le complémentaire de $\text{[math]}$ .
Par définition de la topologie quotient ! donc l'image inverse d'un ouvert de la topologie qutient est un ouvert de la topologie de l'espace de depart $\text{[math]}$ ici c'est $\text{[math]}$ .. la même chose pour $\text{[math]}$ .. donc $\text{[math]}$ est un ouvert elementaire de $\text{[math]}$
Pourquoi il est dans le complementaire de $\text{[math]}$ parcque si on prend un couple $\text{[math]}$ , il n'est pas dans le graphe de $\text{[math]}$ , c'est à dire $\text{[math]}$ n'est pas en relation avec $\text{[math]}$ .. c'est bien ça ?
Merci en tous cas !!

Oui, c'est ça, le dernier point est un peu rapide x et y ne sont pas dans la même classe car p(x) est dans U₁, p(y) est dans U₂ or ces deux ouverts de E/R sont disjoints.

La réciproque est dans le même ordre d'idée, l'hypothèse supplémentaire permet de s'assurer que p(Vi) est ouvert si Vi l'est.

invite52487760 · 16/11/2007, 20h00

Pour $\text{[math]}$ , je sais pas conclure :
Soient $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$
Alors : $\text{[math]}$ n'est pas en relation avec $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Puisque $\text{[math]}$ est ouvert, il existe $\text{[math]}$ des ouverts de $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ ouvert et $\text{[math]}$ ouvert. ( car $\text{[math]}$ est ouvert )
Il reste maintenant à justifier pourquoi $\text{[math]}$ .. et là je sais pas comment terminer !!
Supposons : $\text{[math]}$ .. alors $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .. et après ?!
Merci d'avance de votre aide !!

invite52487760 · 16/11/2007, 20h10

Donc $\text{[math]}$ ça veut dire que $\text{[math]}$ coupe la bissectrice !! c'est à dire $\text{[math]}$ c'est à dire que : $\text{[math]}$ ( contradiction ) c'est ça ?
Merci d'avance !!

invite52487760 · 16/11/2007, 20h22

Voiçi la $\text{[math]}$ partie :
On suppose $\text{[math]}$ compact.
Démonstrer l'équivalence des propriétés suivantes :
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ est fermé dans $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ est fermée.
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ est une application propre.
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ est séparé .
Démontrer que si c'est conditions sont réalisés, $\text{[math]}$ est compact.
Merci d'avance !!

invite52487760 · 16/11/2007, 20h24

$\text{[math]}$ est propre veut dire que l'image inverse d'un compact par l'application continue $\text{[math]}$ est un compact !

invite52487760 · 17/11/2007, 00h05

Help pls !!

Est ce que d'abord , $\text{[math]}$ est continue ?
Par définition des ouverts de la topologie quotient, un ouvert $\text{[math]}$ de cette topologie est de sorte que l'image inverse de $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ est un ouvert, ça veut dire que si l'image inverse de $\text{[math]}$ n'est pas un ouvert alors $\text{[math]}$ n'est pas un ouvert !! donc $\text{[math]}$ est continue !! non c'est pas comme ça ?

invite52487760 · 17/11/2007, 10h47

Help pls !!

**invite35452583** · 17/11/2007, 10h50

Envoyé par chentouf

Help pls !!

Est ce que d'abord , $\text{[math]}$ est continue ?
Par définition des ouverts de la topologie quotient, un ouvert $\text{[math]}$ de cette topologie est de sorte que l'image inverse de $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ est un ouvert, ça veut dire que si l'image inverse de $\text{[math]}$ n'est pas un ouvert alors $\text{[math]}$ n'est pas un ouvert !! donc $\text{[math]}$ est continue !! non c'est pas comme ça ?

Oui U est un ouvert de E/R si et seulement si p^-1(U) est un ouvert de E.
Par contre si tu penses à quelque chose du type si p est continue p-1(compact)=p-1(fermé)=fermé d'un compact donc compact tu te mets le doigt sur une difficulté : un compact dans un non séparé n'est pas nécessairement fermé.
{0} avec la topologuie induite est un compact de {0,1} muni de la topologie grossière mais n'est pas un fermé.

Retournons à tes conditions a), b) et c)
On a déjà vu que c)=>a)
a)=>b) (c'est délicat)
la définition la plus générale d'application propre est une application fermée dont les images réciproques d'un point sont des compacts. (Il y a équivalence avec ta définition si X est localement compact)
Comment montrer que si f-1(point)=compact et f(fermé)=fermé alors f-1(compact)=compact
on considère une famille de fermé Fi dans f-1(K) K compact d'intersection vide. (à montrer qu'une certaine intersction finie de ces Fi est vide).
On suppose l'inverse : toute intersection finie est non vide.
i) montrer alors que les intersections finies des f(Fi) sont non vides
ii) en déduire que l'intersection de tous les f(Fi) est non vide (donc continet un y)
iii) en déduire que les intersections finies des (f-1(y) inter Fi) sont non vides
iv) en déduire que l'intersection des Fi est non vide (contradiction)

Montrons que a)=> p est fermée : soit F un fermé
on va saturer F F'=p2(FxE inter C) où p2 est la projeté sur la deuxième composante, montrer que
i) F' est fermé (car compact)
ii) p-1(p(F))=p-1(p(F'))=F'
iii) en déduire que p(F) est fermé

Montrons que a)=> p-1(point) est un compact, pour cela il suffit de se rendre compte que ce sous-espace est de la forme p2({point}xE inter C)

on peut peut-être simplifié mais je ne suis pas inspiré sur le coup.

b)=>c)
un compact est normal : il sépare les compacts (en partiulier les p-1(point 1) et p-1(point 2).

invite52487760 · 17/11/2007, 11h29

Merci "homotopie" pour la reponse !
La $\text{[math]}$ et dernière partie de cet exo est ce qui suit :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ Montrer que si $\text{[math]}$ est connexe, $\text{[math]}$ est connexe.
$\text{[math]}$ Inversement, si $\text{[math]}$ est connexe et si chaque classe d'équivalence selon $\text{[math]}$ est connexe, démontrer que $\text{[math]}$ est connexe.
$\text{[math]}$ Montrer que si $\text{[math]}$ est connexe par arcs , il en est de même de $\text{[math]}$ .
Merci d'avance de votre aide !!
P.S : Juste quelques pistes et je vais terminer !!
Merci d'avance !!

invite52487760 · 17/11/2007, 11h31

Envoyé par homotopie

b)=>c)
un compact est normal : il sépare les compacts (en partiulier les p-1(point 1) et p-1(point 2).

C'est quoi, normal ? j'ai pas compris ? on a jamais vu ce terme en classe !Merci d'avance !!

invite52487760 · 17/11/2007, 11h37

Envoyé par chentouf

Merci "homotopie" pour la reponse !
La $\text{[math]}$ et dernière partie de cet exo est ce qui suit :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ Montrer que si $\text{[math]}$ est connexe, $\text{[math]}$ est connexe.
$\text{[math]}$ Inversement, si $\text{[math]}$ est connexe et si chaque classe d'équivalence selon $\text{[math]}$ est connexe, démontrer que $\text{[math]}$ est connexe.
$\text{[math]}$ Montrer que si $\text{[math]}$ est connexe par arcs , il en est de même de $\text{[math]}$ .
Merci d'avance de votre aide !!
P.S : Juste quelques pistes et je vais terminer !!
Merci d'avance !!

Svp ! la définition suivante d'un connexe, on l'a pas utilisé en classe :
"Si l'on considère $\text{[math]}$ muni de la topologie discrète et $\text{[math]}$ une application continue, alors est constante sur X ".
Donc, il faut pas resoudre cette partie en s'appuyant sur cette definiton !!
Merci d'avance !!

invite52487760 · 17/11/2007, 12h35

Bonjour :
Sur "Wikipedia", voiçi ce que j'ai trouvé :
$\text{[math]}$ est dit normal lorsque pour toutes parties fermées disjointes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , il existe deux ouverts disjoints $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ contenant respectivement $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , c'est ça ce que tu sous entend par normal ici " homotopie " ?.
Moi, tout ce que j'ai etudié en classe ! c'est qu'on peut séparer un fermé et un compact par deux ouverts disjoints !! et puisque tout compact est fermé dans un séparé alors l'espace est normal !! mais en fin de compte je comprends pas pourquoi un compact est normal, parcque deux compacts disjoints de ce compact $\text{[math]}$ peuvent etre separé par deux ouverts de $\text{[math]}$ c'est ça ?
Ah oui, parceque : tout compact est fermé dans un compact qui est par definition séparé et donc on peut séparer deux compacts par deux ouevrts disjoints c'est ça ?
Merci d'avance !!

invite52487760 · 17/11/2007, 14h01

Help pls !!

Merci d'avance !!

**Romain-des-Bois** · 17/11/2007, 14h25

Envoyé par chentouf

Une autre petite remarque : avec cette "methode brutale", on prend un élément du complementaire du graphe $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ et pas un element de $\text{[math]}$ , ( d'après ce que tu viens de dire ) , non .. ? et un élément appartenant au complementaire du graphe $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , qu'est ce que celà veut dire ?
Merci d'avance !!

Je reviens un peu tard... mais oui, je parlais du complémentaire de C dans ExE... excuse moi !

Romain

invite52487760 · 17/11/2007, 14h28

Pas grave "Romain" !
Est ce que tu peux m'aider pour la suite ?
Merci d'avance !!

**Romain-des-Bois** · 17/11/2007, 14h55

Là, je suis en train de m'acharner sur de l'algèbre

doncj'ai pas trop le temps de faire de la topologie

Désolé...

**invite35452583** · 17/11/2007, 15h09

Envoyé par chentouf

on peut séparer deux compacts par deux ouevrts disjoints c'est ça ?

C'est ça. Or deux compacts peuvent toujours être séparés dans un espace séparé (pas immédiat mais pas très difficile). Donc comme dans un compact les fermés sont compacts on peut les séparer donc un compact est normal.
Ceci ne suffit pas pour montrer que b)=>c) mais c'est un début.

Pour les questions de connexité:
a) immédiat : E/R= U1 union U2 avec U1 U2 disjoints impliquent par image réciproque que...
L' "inversement" du b) est abusif, xRy<=>x-y entier est une relation d'équivalence sur R (connexe) dont le quotient est homéomorphe à un cercle connexe mais les classes sont toutes homéomorphe à z muni de la topologie discrète (pas très connexe ça

)
b) immédiat aussi : soit deux ouverts séparant E en deux sous-espaces disjoints, à montrer que leurs images séparent E/R du fait de l'hypothèse de connexité sur les classes
c) immédiat également : si c est un chemin continu et p une application continue poc est un chemin continu comme toute composée d'applications continues.

invite52487760 · 18/11/2007, 08h58

Bonjour :

Envoyé par homotopie

b) immédiat aussi : soit deux ouverts séparant E en deux sous-espaces disjoints, à montrer que leurs images séparent E/R du fait de l'hypothèse de connexité sur les classes.

Je vois pas encore comment faire pour $\text{[math]}$ :
Soit $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux ouverts disjoints non vides de $\text{[math]}$ .
Alors : $\text{[math]}$ .
Est ce que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont des ouverts de $\text{[math]}$ ?
Merci d'avance !!

invite52487760 · 18/11/2007, 09h55

Qu'est ce que je raconte oui, ce sont des ouverts par definition des ouverts de la topologie quotient !!désolé !!

invite52487760 · 18/11/2007, 10h26

$\text{[math]}$
Mais je vois pas l'utilité de connexe ici pour les classes d'équivalences !!
Merci d'avance de votre aide !!

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