DM courbes paramétrées PCSI

[invitecd454a0e]

Bonjour à tous je bloque sur une question après avoir relu le cours de long en large...

La droite Delta est définie par x = 1 dans ( O ; i , j )
On note Phi la courbe décrite par M de coordonnées x = 1 + 8cos(t) et y = tan(t) + 8sin(t) où t décrit la réunion ] - pi/2 ; pi/2 [ U ] pi/2 ; 3pi/2 [
Omega est le point de Delta d'ordonnée tan(t)

1 ) Etudier phi
2 ) Donner les coordonnées d'un vecteur normal à Phi en M
3 ) Calculer les coordonnées du point d'intersection R de la normale en M avec y = tan(t) quand M n'appartient pas à (Ox)
Que peut-on dire du triangle ROOmega ?
4 ) Déterminer une fonction polynômiale à 2 variables telle que f ( x,y ) = 0 soit une équation de Phi
5 ) Donner une équation polaire de Phi

Voila j'ai fait l'étude de Phi mais pour la 2 je n'y arrive pas : j'ai d'abord pensé à la tangente à Phi et déterminer ensuite un vecteur orthogonal à cette tangente mais je n'arrive pas à avoir son équation... et pour les autres je vois encore moins à part peut-être pour la 5)... pouvez-vous m'aider ?
merci
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[Hamb]

lorsque un point réguliers, tu peux très facilement déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe en ce point. Il te suffit alors de trouver un vecteur normal a ce vecteur.
Ensuite, pour le point d'intersection, il te suffit de déterminer une equation de la fameuse normale (tu as déterminé un vecteur normal à la courbe et tu sais qu'elle passe par M(t) ), et ensuite traduire que le piont d'intersection appartient aux 2 droites.

[invitecd454a0e]

Dans le cours j'ai le vecteur f'(t(0)) comme vecteur directeur de la tangente en M(t(0)) donc il suffit de dériver x(t) et y(t) et j'aurai les coordonnées de la tangente ?

[Hamb]

oui, mais seulement si f' ne s'annule pas en t0 (sinon tu dois avoir d'autres méthodes, par exemple trouver la premiere derivée successive non nulle en t0, ou alors calculer le rapport (y(t)-y(t0))/(x(t)-x(t0)) et en chercher la limite.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6117b0a0]

Vous allez peut-être me trouver pas doué, mais pas grave je pose qd même ma question. Pour trouver les valeurs où la dérivée s'annule par exemple pour x'(t) 1-8sin(t)=0 est-ce que c'est juste de mettre arcsin(1/8), est-ce qu'on peut pas simplifier ?

[Romain-des-Bois]

Salut !
Si x(t)=1+cos(8t) (comme tu l'as écrit là haut), tu t'es planté dans ta dérivée

Sinon arcsin(1/8), ça n'a pas l'air d'être une valeur "canonique"

[Hamb]

Ce résultat est faux, lorsque sin(a) = b, on a en général b != arcsin(a)
en effet, l'équivalence qui découle de l'étude de la fonction arcsinus est la suivante :
arcsin(u)=v ssi (u=sin(v) ET v compris entre -pi/2 et pi/2)
or ici t n'appartient pas forcément à cet intervalle.
Et de toute facon, ta dérivée est fausse ^^

edit : grillé

[Romain-des-Bois]

Pour compléter ce que dit Hamb :

sin(t)=1/8
une des solutions est arcsin(1/8) car 1/8 est dans [-1;1]

- ensuite, tu utilises la périodicité de sinus :
sin(t)=1/8 alors sin(t+2Pi) = 1/8 donc arcsin(1/8)+ 2kPi est solution quand k parcourt Z

- tu remarques aussi que sin(t)=sin((2k+1)Pi-t)
donc (2k+1)Pi - arcsin(1/8) est solution également...

finalement : S={ arcsin(1/8)+2PiZ ; (2Z+1)Pi - arcsin(1/8) } et là on doit tous les avoir

remarque, on s'en moque un peu étant donné que l'équation n'est pas sin(t) = 1/8

Note : Z désigne

[invitecd454a0e]

Peut-être mais le prof s'attend pas à ce que je fasse quelquechose d'aussi compliqué surtout si j'ai pas compri le mécanisme...
et pour le coefficient directeur je dois trouver la tangente en M(t0) sauf que dans l'énoncé c'est M(t)... je suis un peu confus

[Hamb]

En utilisant la dérivée de tes coordonnées, tu dois pouvoir déterminer le vecteur directeur de la tangente en un point régulier quelconque de ta courbe. Ensuite, pour répondre à la question, tu fixes t (soit t appartenant à .... ou les points doivent etre remplacés par l'ensemble sur lequel la dérivée de f ne s'annule pas).
Ensuite, tu cherche une equation de la normale a la courbe (qui admet pour vecteur normal f'(t) et qui passe par M(t)), et ensuite tu étudies l'intersection avec la droite d'equation y=tan(t). Comme t est fixé, c'est tout simplement la résolution d'un système d'equations.

edit : evidemment si tu pars avec une dérivée fausse toutl e reste est faux !

[Romain-des-Bois]

Peut-être mais le prof s'attend pas à ce que je fasse quelquechose d'aussi compliqué surtout si j'ai pas compri le mécanisme...
et pour le coefficient directeur je dois trouver la tangente en M(t0) sauf que dans l'énoncé c'est M(t)... je suis un peu confus

Bah, il n'y a rien de compliqué... normalement, tu as du voir tout ce qui concerne les fonctions trigo réciproques

edit : evidemment si tu pars avec une dérivée fausse toutl e reste est faux !

+1

Je ne sais pas si tu as vu, mais ta dérivée est fausse !

[invite6117b0a0]

Oui d'accord je me suis lamentablement planté, mais bon l'erreur est humaine.
Je regarde la question 2, ça devrait pas être trop méchant car si je me trompe pas on a pas de points stationnaires. Merci beaucoup pour votre aide.

[Hamb]

malheureusement si ma mémoire est bonne (et je crois bien qu'elle l'est) il y a un point stationnaire

[invite6117b0a0]

Je t'assure que je vois pas de points stationnaires (si je me trompe pas pour que ça soit le cas il faut à la fois x'(t)=0 et y'(t)=0 ce qui n'est pas le cas ici : on a x'(t)=0 et y(t)=... en ... et vice versa).
Par contre sur maple savez-vous comment tracer une équation paramétrée ?
Comme ça : plot([1+8*cos(t),tan(t)+8*sin(t)],t=-20..20); ça ne marche pas...

[Hamb]

je ne sais pas pour maple et tu as surement raison pour la dérivée.

[invitecd454a0e]

J'ai fait l'étude de la courbe il n'y a aucun point stationnaire que des branches infinies et en plus c'est toujours la même asymptote x = 1...
au final je prend t dans quel intervalle ? l'ensemble de définition ?

[invite6117b0a0]

Salut Nuklearis, si tu regardes bien la feuille, y a marqué que t appartient à ]-Pi/2;Pi/2[ U ]Pi/2;3Pi/2[ ?
Comme la fonction est deux Pi-périodique, on a toute la courbe là.
Par contre je bloque à la question 3, parce que je comprends pas trop, on a y=tan(t) pour les x on a rien ?

[invitecd454a0e]

On sait que Omega appartient à Delta d'équation x= 1 donc Omega : ( 1,tan(t) )
Pour la 2 on peut pas dire que comme un vecteur directeur de la tangente est ( x' , y' ) un vecteur normal est ( -x' , y' ) ?

[invite6117b0a0]

NON !! les coordonnées d'un vecteur normal sont par exemple (-y',x) !!
Et dis-moi, as-tu fais l'exo 2 ?
Encore une autre question, t'as khôlle de maths cette semaine ?

[invitecd454a0e]

On doit se connaitre non ?
non je n'ai pas fait l'exo 2 et non plus je n'ai pas khôlle de maths cette semaine...

[invite6117b0a0]

Bien sûr qu'on se connaît !

[Romain-des-Bois]

Légère confusion dans les pseudos, là !

[invitecd454a0e]

Bon je vai me débrouiller pour la 3 puisque j'ai la méthode...
Pour la 4 est-ce que je peux partir de f(x,y)=0 équation de Phi et comment utiliser les coordonnées de l'énoncé ?

[Hamb]

La question 4 revient en fait à chercher une equation cartesienne de la courbe. Pour celà, ce que tu veux en fait c'est faire disparaitre t.
Si tu regardes l'expression de x, tu peux très facilement exprimer cos t en fonction de x. De plus, tu connais une relation entre sin t et cos t, et donc tu connais aussi une relation entre tan t et cos t. Donc à priori en remplacant dans l'expression de y tan(t) et sin(t) par leur expression en fonction de x, tu vas obtenir une fonction du type demandé (après quelques transformations).
Ensuite, bien sur, il faut montrer l'inclusion réciproque (tu as démontré que ta coubre était incluse dans celle d'équation f(x,y)=0, il faut ensuite montrer que cette dernière est incluse dnas la courbe paramétrée).

[invitecd454a0e]

ok mais je ne sais pas comment utiliser les inclusions je n'ai pas l'habitude de m'en servir sinon je vois comment faire mais pas le rapport avec les inclusions

[invitecd454a0e]

Sinon je trouve 64/(x-1)² - (x-1)² - y² + 63 = 0