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Inégalité assez ardue



  1. #1
    makassi

    Inégalité assez ardue


    ------

    Bonsoir les gens je suis bloqué face à cet exo
    {a1,a2,...,an} est un ensemble fini d'entiers naturels distincts, différents de 0 et dont aucun n'est divisible par un nombre premier>= N. Prouver que
    (1/a1)+(1/a2)+...+(1/an)<= N.

    Merci de votre aide

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    -Zweig-

    Re : inégalité assez ardue

    Olympiades russes 1989 ... exercice difficile ... Hum, attends je vais voir dans mes brouillons si j'ai encore ma démonstration (j'ai pas le temps pour le moment d'essayer de la retrouver).

  4. #3
    Taar

    Re : inégalité assez ardue

    Citation Envoyé par makassi Voir le message
    Bonsoir les gens je suis bloqué face à cet exo
    {a1,a2,...,an} est un ensemble fini d'entiers naturels distincts, différents de 0 et dont aucun n'est divisible par un nombre premier>= N. Prouver que
    (1/a1)+(1/a2)+...+(1/an)<= N.

    Merci de votre aide
    On a le droit d'utiliser des trucs du genre encadrement du ne nombre premier ?

    Taar.
    Dernière modification par Taar ; 18/11/2007 à 21h13.

  5. #4
    DOUNIA60

    Re : inégalité assez ardue

    C'est très facile, il suffit demontrer l'inégalité par reccurence

    1/a1 <=1 <= N
    Supposons vrais pour n élements a1,a2, ..., an, on a alors
    (1/a1)+(1/a2)+...+(1/an)<= N

    maintenant pour tout a(n+1) (c.a.d a indice n+1) qui vérifie les conditions

    (1/a1)+(1/a2)+...+(1/an) +(1/a(n+1)) <= N + (1/a(n+1)) <= N+1.

    puisque (1/a(n+1)) <= 1

    ce qui montre l'inégalité

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    ThSQ

    Re : inégalité assez ardue

    Très très zouli mais pas si dur à moins d'une grosse c*nerie de ma part


    Il suffit de montrer que

    avec les nombres premiers plus petits que N (i = 1 .. n) rangés dans l'ordre.

    Mais ce truc, a priori horrible, se calcule bien, c'est

    On donc donc montrer que mais c'est clair vu que et

  8. #6
    indian58

    Re : inégalité assez ardue

    Ok. J'y ai un peu réfléchi et voilà ce que je propose :

     Cliquez pour afficher

  9. Publicité
  10. #7
    DOUNIA60

    Re : inégalité assez ardue

    desolé il y a une erreur dans mon raisonement précedent.

  11. #8
    indian58

    Re : inégalité assez ardue

    Citation Envoyé par ThSQ Voir le message
    Très très zouli mais pas si dur à moins d'une grosse c*nerie de ma part


    Il suffit de montrer que

    avec les nombres premiers plus petits que N (i = 1 .. n) rangés dans l'ordre.

    Mais ce truc, a priori horrible, se calcule bien, c'est

    On donc donc montrer que mais c'est clair vu que et
    Zut tu m'as grillé de quelques minutes!

  12. #9
    -Zweig-

    Re : inégalité assez ardue

    Le cas est trivial : en effet :



    Supposons le résultat vrai pour tout entier k < N, et prouvons que le résultat est encore vrai pour N. On divise alors l'ensemble considéré en 2 sous-ensembles, le premier étant constitué par les nombres dont tous les diviseurs premiers sont inférieurs ou égaux à N - 1, et le second par le reste.

    On note les éléments du deuxième sous-ensemble. Il suffirait évidemment de prouver que .
    Or,



    où S est la somme de tous les entiers positifs qui n'ont aucun diviseurs premiers >= N-1, et k la plus grande puissance de N intervenant dans la décomposition en nombres premiers des , i € (1, 2, ...m)

    Par hypothèse de réccurence S <= N - 1. Ainsi ,

    .

    CQFD
    Dernière modification par -Zweig- ; 18/11/2007 à 21h52.

  13. #10
    -Zweig-

    Re : Inégalité assez ardue

    Pour le cas N = 2, je me suis trompé c'est bien sur sigma : k = 0 -> +oo.

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