Equation différentielle ardue ...

[invite050a6472]

Bonjour

Je bosse depuis quelques semaines avec quelques autres taupes sur le problème suivant : Etablir le portrait de phase (représentation graphique de ie de la vitesse en fonction de la position) d'une bille roulant sur un rail de forme polynômiale (de degré 4). On dispose de l'équation du rail :

On a donc directement l'énergie potentielle et l'énergie cinétique:

et

En considérant les forces de frottement nulles, on a l'énergie mécanique constante ie . D'où l'équation horrible :

Et là, pour tout vous dire, mon niveau de maths actuel est bien loin de suffire pour la résolution de cette chose... Alors si par hasard, quelqu'un aurait une méthode de résolution approchée qui soit efficace pour cette équation, je le ou la supplie a genoux de se faire connaitre.

Le problème peut aussi se poser pour un rail de forme parabolique ie polynomiale de degré 2. Je tombe sur le même problème, je ne connais aucune méthode et n'en trouve nulle part. L'équation a alors cette tête :

Je dispose de maple et même une manière de résoudre ça sous maple sans pour autant connaitre sa façon de procéder me conviendrait a merveille. Merci d'avance.
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[obi76]

C'est marrant j'ai eu affaire il y a peu de temps à une équation similaire (des x''x² + ...). Ne serai-ce que pour x'' x² = cste on a pas trouvé de solution...
Enfin c'est pas pour te décourager mais si tu trouve la solution je suis intéressé

Cordialement

[invite050a6472]

Aïe aïe ! pas bon signe ça alors ...

[invitea774bcd7]

Ça m'étonnerait que ce soit analytique… Faut résoudre ça numériquement.
Tu connais x(0) (là où tu mets ta bille sur le rail au début). Je donnerais une valeur raisonnable à x'(0) et vogue la galère pour voir ce que ça donne…

Le problème c'est que ton équation est inhomogène si je ne m'abuse (il y a le terme a1.g). Tu auras donc des solutions différentes selon la valeur que tu donnes à x'(0) Ça, ça risque d'être relou. Faut réfléchir à une valeur « physique » à donner à x'(0) ou annuler a1 (j'imagine que tu peux décaler « en bloc » ton rail d'une hauteur -a1 Non ? Ça simplifierait grandement les choses…)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea774bcd7]

Je suis bête : x'(0) c'est la vitesse initiale que tu donnes à ta bille

[invitea774bcd7]

Rail parabolique avec une petite pichenette au début

[invitea774bcd7]

J'obtiens des résultats bizarres en jouant avec a1 et a2 T'es sûr de ton equa diff ? Ou alors je me suis planté quelque part
C'est normal qu'il n'y ait pas la masse de la bille dans l'equa diff ?

[invite050a6472]

En fait, j'abandonne completement l'équation la plus moche, je pense que c'est ce que j'ai de mieux a faire. Pour le degré 2 en revanche, je peux pas choisir le repère de manière a arranger le calcul, il me faut le cas général parce que mon but est ensuite de recoller les courbes de 3 paraboles pour obtenir un rail a peu près de la même forme que celui de forme polynomiale de degré 4 ... Pas très clair ce que je raconte. Pour se donner une idée, voilà mon code Maple :

> restart:Lz:=[1.61,-2.27*0.1,2.36*0.1,-1.82*0.1,7.12*0.1]:Lx:=[1.07,1.16*10,2.63*10,4.03*10,4 .83*10]:
> S:=solve({seq(Lz[i]=a*Lx[i]^4+b*Lx[i]^3+c*Lx[i]^2+d*Lx[i]+e,i=1..5)},{a,b,c,d,e}):
> assign(S):
> z:=x->a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e:
> Z:=plot(z(x),x=Lx[1]..Lx[5],colour=blue):
> Sd:=solve(diff(z(x),x$2)=0):x2 :=Sd[1]:x1:=Sd[2]:
> z1:=x->a1*x^2+b1*x+c1:z2:=x->a2*x^2+b2*x+c2:z3:=x->a3*x^2+b3*x+c3:
> S1:=solve({unapply(diff(z2(x), x),x)(Lx[3])=0,z1(x1)=z(x1),unapply(diff( z1(x),x),x)(Lx[2])=0,unapply(diff(z1(x),x),x)(x 1)=unapply(diff(z2(x),x),x)(x1 ),z2(x1)=z1(x1),z2(x2)=z3(x2), unapply(diff(z2(x),x),x)(x2)=u napply(diff(z3(x),x),x)(x2),un apply(diff(z3(x),x),x)(Lx[4])=0,z3(x2)=z(x2)},{a1,a2,a3,b1 ,b2,b3,c1,c2,c3}):
> assign(S1):
> with(plots):Z1:=plot(z1(x),x=L x[1]..Lx[5]):Z2:=plot(z2(x),x=Lx[1]..Lx[5]):Z3:=plot(z3(x),x=Lx[1]..Lx[5]):
> display({Z,Z1,Z2,Z3});
(les listes en haut sont les coordonnées de points du rail obtenu par acquisition vidéo)

Bref, je compte pouvoir obtenir pour toute vitesse initiale et pour toute position initiale de la bille sur une parabole quelconque l'équation du mouvement ...

Après, effectivement, j'ai abandonné toute méthode analytique, avec une tronche pareil, il y a peu de chance qu'elle existe mais le numérique me pose tout autant de problème.

[invite050a6472]

Pour la masse, elle n'intervient pas car Ep et Ec sont tous deux multiples de la masse. Je ne pense pas avoir d'erreur dans l'equa diff. Je vérifierai ça demain, mon lit m'appelle ... Bonne soirée en tout cas !

[BioBen]

Ton energie cinétique à l'air bien fausse... tu passes de v² à x² et z².

[The Artist]

L'énergie cinétique est par définition
Donc tu auras une autre tête d'équation

[BioBen]

Tu pourrais peut-être essayer d'écrire ton lagrangien avec comme contrainte (multiplicateur de lagrange) l'équation pour le rail, je pense que c'est la manière la plus judicieuse d'arriver au bout...

[invite050a6472]

Alors, après vérification, l'équation reste bonne malgré cette erreur qui s'avère être une "faute de frappe". Par contre, autre erreur, un 2 s'est échapé dans la dernière parenthèse... l'équation correcte est en fait :

Je vais voir pour quelques infos sur le lagrangien parce qu'il ne me semble pas le connaitre. Pour les courbes, il me semble que ça doit ressembler à ça, mais je comprends pas top top le langage. C'est quel logiciel ? NDsolve est une fonction de résolution numérique c'est ça ?

[invitea774bcd7]

Par contre, autre erreur, un 2 s'est échapé dans la dernière parenthèse... l'équation correcte est en fait :

Avec cette correction, j'obtiens maintenant des résultats cohérents quels que soient a1 et a2. C'est Mathematica. C'est généralisable aisément au polynome de degré 4.
Tu peux faire la même chose sous Maple mais je ne connais pas ce logiciel; je ne peux donc pas t'aider sur ce point mais c'est une bête résolution numérique et spécifiant 2 conditions initiales (ton equa diff est de degré 2 )

[invite050a6472]

Wahou !! Excellente nouvelle ! Je vais essayer de trouver la solution pour mettre ça sur maple. Pour le lagrangien, je ne l'ai effectivement pas encore étudié et je comprends pas top top ce qui se passe. Je vois pas comment écrire ma contrainte et les articles que j'ai consulté sur wikipédia ne parlent pas de contraintes. Par contre, je trouve une page qui a l'air de traiter le même genre de problème dans l'aide maple, qui se sert en effet du lagrangien et du "lagrangien modifié"... Bref, tout cela reste bien obscur ! Je poste dès que je trouve la commande pour Maple ! Merci pour tout

[invite050a6472]

Pas moyen d'en découdre ... Je ne trouve pas le moyen de tracer une courbe comme la tienne sur maple, et il n'y a rien qui me mette plus de sal poil. J'ai tenté un
>with(DEtools):dsolve([eqn,x(0)=-1,D(x)(0)=1],numeric,x(t));
mais rien a faire, il me lance des erreurs "en veux tu en voilà" et quand j'arrive a une courbe, il dit trouver un point singulier aux alentours de 0,2 sec qui ne lui permet pas de plotter plus loin...
J'ai bien donné des valeurs simples à a0, a1 et a2, je vois vraiment pas d'où provient ce genre d'erreurs...