Equation Différentielle

[invite533b878d]

Bonjour à toutes et à tous.

J'ai un exercice sur les équa diff qui me pose un petit souci. Le voici :

On considère l'équation différentielle (E): y'+y=exp(-x)
1. Démontrer que la fonction u définie sur R par u(x)=xexp(-x) est solution de (E)
2. Résoudre (E0): y'+y=0
3. Démontrer qu'une fonction v, définie sur R est solution de (E) ssi v-u est solution de (E0)
4. En déduire toutes les solutions de (E)
5. Déterminer la fonction f2, solution de (E), qui prend la valeur 2 en 0.

Alors, j'ai fait 1,2,3, mais le 4 et 5 me posent problème.

Pour le 4, mes solutions seraient u et v je pense, mais je ne connais pas l'expression de v !
Enfin, pour le 5, je ne vois pas comment faire.

Pouvez vous m'aider ?

Merci d'avance.

Cordialement,
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[Hamb]

tu sais que (v-u)(x) = v(x) - u(x)
et donc v(x) = (v-u)(x) + u(x)
tu connais u(x), et tu peux retrouver (v-u)(x) puisque tu as toutes les solutions de (E0) et que v-u est solution de (E0)

Ensuite pour trouver la solution particulière, tu poses v(0)=2 et tu remplaces.

[invite533b878d]

Je ne comprend pas, les solutions de (E0), tout ce que je sais, c'est qu'elles sont de la forme Cexp(x), je n'ai pas de condition initiale, donc je vois pas comment trouver C.

[Hamb]

tu n'as pas besion de trouver C, tu auras C dans l'expression des solutions de (E), c'est justement parce que C peut prendre n'importe quelle valeur réelle que ton équation a une infinité de solutions. Ensuite, pour la solution telle que v(0)=2, tu vas déterminer C ce qui te donnera une unique fonction.
D'ailleurs les solutions de (E0) sont de la forme y=Cexp(-x)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite533b878d]

Je ne comprend pas ce que tu veux dire pour trouver (v-u)(x), je tombe sur v(x)=0.

[Hamb]

Tu sais que v-u est solution de (E0) et que toute solution de (E0) est de la forme y=Cexp(-x).
donc ...

[invite533b878d]

Donc v(x)=(exp(-x))(C+x) ???

[Hamb]

Ca en a tout l'air, reste a trouver la solution particulière demandée.