Limites, bijection, exponentielles ...

[invite533b878d]

Bonjour à toutes et à tous !

J'ai quelques difficultés à résoudre plusieurs exercices. Les voici.

Exercice I :

f(x) = (2-x)exp(x)-k , k appartenant à ]0;e[

1. Determiner la limite en +inf
3a.Etablir que l'équation f(x)=0, à deux solutions, alphaK sur ]-inf;1[ et betaK sur ]1;+inf[
3b. Montrer que exp(alphaK)-k(alphaK) = (exp(alphaK)-k)(alphaK -1)
3c. Determiner une valeur approchée à 0,01 près de alpha1, beta1 et beta2
4. Préciser le signe de f(x) suivant les valeurs de x

Je précise que alphaK et betaK se lisent "alpha indice k" et "beta indice k"

6a. On donne gK "g indice K" la fonction definie par (exp(x)-k)/(exp(x)-kx). Determiner la limite en +inf

Alors, j'ai trouvé la limite en -inf, mais en +inf, j'ai essayé de developper, mais je tombe toujours sur une forme indeterminée.

Pour le 3a, j'ai prouvé qu'il y avait effectivement deux solutions, en utilisant le théorème de bijection, mais je ne parviens pas a montrer la relation du 3b, j'ai essayé de prendre (exp(alphaK)-k)(alphaK -1) et de developper, mais je ne tombe pas sur exp(alphaK)-k(alphaK)

Pour le 3c, je ne comprend pas ce que sont alpha1, beta1 et beta2, alpha1, beta1 et beta2 se lisent respectivement "alpha indice 1", "beta indice 1" et "beta indice 2"

Enfin, pour le 6a, rebelotte, je tombe encore sur une forme indeterminée, même en factorisant.

Pourriez vous m'aider s'il vous plait ?

Merci d'avance.

Cordialement,
-----

[Duke Alchemist]

Bonjour.

1. détermine les limites en + infini de (2-x) puis de e^x, tu en déduis la limite du produit des deux, non ?

3.a. Application du théorème des valeurs intermédiaires. (à deux reprises)

3.b. Utilise le fait que est solution de après c'est du "bidouillage"...
Ou alors, pars de la relation donnée et retrouve

3.c. A la calculatrice... peut-être...
correspond à la solution de pour et ainsi de suite pour les autres.
Remarque : et n'ont pas de liens directs puisque ce sont les solutions pour des fonctions différentes.

4. Un tableau de signes dans lequel apparaissent et

6. Ne vois-tu pas un lien entre la fonction g et la relation établie au 3.b ??

See ya.
Duke.

[invite533b878d]

Euhh, la limite en +inf de (2-x) c'est -inf, et celle de exp(x), c +inf, le produit, c'est une forme indeterminée, non ?

Pour le 3b et le 6, peux-tu expliquer un peu plus ?

Merci.

[Duke Alchemist]

La somme est indéterminée pas le produit

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite533b878d]

Ahhhhhhhh merci, donc -inf, mais pour le 3 et le 6 ?

[Duke Alchemist]

3.b. pars de
,
Mets tout du "même côté" afin d'avoir ... = 0.
A quoi correspond ce "..." ci-dessus ?

6. Regarde le 3.b ATTENTIVEMENT, remplace par x et "bidouille" un chouïas
Ne vois-tu rien venir ?...

EDIT : J'y arrivais... du calme !

[invite533b878d]

Mais je tourne en rond pour le 3b !!

[Duke Alchemist]

3.b. pars de
,
Mets tout du "même côté" afin d'avoir ... = 0.

ça ne t'aide pas ??!

* Fais passer dans le membre de gauche,
* Fais passer dans le membre de gauche (aussi) et là tu as ... = 0
* Développe et simplifie le membre de gauche
* Que (re)trouves-tu ??

EDIT : Maintenant, tu peux le faire dans l'autre sens aussi
Plus astucieux (mathématiquement)

[invite533b878d]

Bah j'arrive à k(-a²+a+1)+exp(a)(a-2)=0 ...

[Duke Alchemist]

Arrggg... En effet

Je suis allé trop vite mais j'obtiens à partir de

Le dénominateur ne serait-il pas de l'autre côté ?
Ne serait-ce pas une erreur d'énoncé ?

See ya.