Bonjour,
j'ai besoin d'aide pour résoudre cette intégrale:
∬D 1/(x²+y²) dx dy où D={(x,y) ϵ R²: 1≤x≤2, x/2≤y≤x}
j'ai essayé de factoriser par x² pour faire apparaitre la dérivée de arctan pour pouvoir primitivé mais j'ai un problème pour trouver les bornes de l'intégrales.
Merci d'avance.
Bonjour, quand je vois la tête de la fonction à intégrer, cela me semble une bonne idée de travailler en coordonnées polaires. Le domaine d'intégration n'est pas très compliqué à exprimer dans ces coordonnées non plus.
ok je te remercie je vais essayer.
j'ai du mal à exprimer le domaine d'intégration. 1≤ rcosθ≤ 2 et (rcosθ)/2≤ rsinθ≤ cosθ
Ce domaine, l'as-tu dessiné ? Si tu le fais, tu verras que l'angle polairevarie entre deux bornes fixes très simples. Quant à la distance à l'origine
je ne vois pas comment le dessiner.
Hmmm, tracer les droites d'équationsEnvoyé par c.cathy
Pas besoin d'aller chercher des coordonnées polaires. Tu commences par intégrer sur y entre x/2 et x et ça se simplifie énormément.
j'ai cru que tu me parlais du domaine avec les θ. En traçant ce domaine comment on trouve les bornes de θ. J'ai toujours des difficultés à trouver les bornes.Hmmm, tracer les droites d'équations
Oui, c'est vrai que le passage en polaires n'est pas nécessaire ici, et si j'avais mieux lu le premier message de la posteuse initiale, je ne l'aurais pas aiguillée sur une autre voie (elle avait déjà remarqué qu'on pouvait faire apparaître la dérivée d'arctangente). En revanche, je ne comprends pas bien son souci au niveau des bornes (si on ne fait pas de changement de variables, les bornes sont déjà données…).
Après, c'est peut-être une question de goût, j'ai l'impression de mieux « voir les choses » en polaires, mais j'ai sans doute exagéré en qualifiant de très simple la borne inférieure pour). En termes de quantité de calculs, les deux méthodes donnent le résultat assez rapidement.
Bref, C.cathy, désolé de t'avoir embrouillée, tu devrais peut-être revenir à ton idée initiale et suivre le conseil de Jean-Paul.
Et pour me racheter, j'explicite un peu plus ce que suggère Jean-Paul : l'intégrale à calculer est
Merci à vous deux.Donc ma première idée n'était pas totalement fausse. J'ai trouvé arctan(2)-arctan(1) est-ce bon?
Vérifie tes calculs, ça cloche de plusieurs façons. Ne va pas trop vite quand même.
c'est 1/2 facteur de arctan(1/2)-arctan(1).
Cela ressemble un peu plus à la solution, mais ce n'est pas encore cela (d'ailleurs, n'est-ce pas bizarre de trouver une intégrale négative pour une fonction positive?).
Peux-tu poster le détail de tes calculs afin qu'on puisse repérer une éventuelle erreur ? Parce que le résultat seul, cela ne dit pas grand chose.
Ah c'est les bornes j'ai pris l'intégrale que tu avais écrite tu as inversé les bornes de l'intégrale par rapport à y. Donc le résultat c'est plutôt (1/2)(arctan(1)-arctan(1/2)).
Ah oui tiens, j'ai inversé les bornes et ne peux plus éditer mon message. Décidemment, je ne suis pas au top sur ce fil
Là je sèche.
En supposant pour le moment
Je trouve (1/x²)[arctan(y/x)] de x/2 à x.
Ok, il y a donc une erreur dans ton calcul de primitive : la dérivée de
ok ce qui nous donne (1/x)[arctan(y/x)].La solution est ln2 (arctan(1)-arctan(1/2))?
Il s'agit d'abord de calculer l'intégrale sur y de 1/(x²+y²).
L'intégrale indéfinie de 1/(a²+u²) c'est 1/a Arctg(u/a) et en intégrant sur y tu as oublié le x du dénominateur, ce qui change évidemment le résultat final.
Voilà, nous sommes d'accord. Tu peux cependant remplacer l'arctangente de 1 par sa valeur exacte.
D'accord pas de problème. Merci beaucoup.
Bon, pour amuser la galerie (ou juste montrer combien je peux avoir l'esprit tordu), voilà ce que ça donne en passant en coordonnées polaires. Le domaine d'intégration devient l'ensemble des
ce qui donne
Ouf, on retrouve le même résultat !Bon, je suis peut-être complètement fou, mais j'y suis arrivé comme ça la première fois.
Histoire de ramener mon grain de sel : on peut aussi montrer que Arctg(1) - Arctg(1/2) = Arctg(1/3)
Il suffit de prendre la tangente des 2 côtés.
un peu trop compliqué tout ça pour moi.
