integrale double

[invitedcb8d9bb]

bonjour,
on a
D={ (x,y)reels tel que 0<=x<=1 et x^(1/3)<=y<=x^3 }
orienté dans le sens positif et qui est la réunion des courbes G={ (x,y)reels tel que 0<=x<=1 et y=x^3 }
et H={ (x,y)reels tel que 0<=x<=1 et y=x^(1/3) }
je souhaite calculer :
\[ \int \int_D f(x,y)\,dx\,dy = \int \!\!\!\int_D f(x,y)\,dx\,dy \]


[TEX][I_2=\int \int_G (2y-1)\,dx\,dy \][TEX]
et
[TEX][I_2=\int \int_H (2y-1)\,dx\,dy \][TEX]

et je ne sais pas quelles sont les bornes pour I1 et I2 ?
est-ce que c'est :
pour I2 : integrale de 0 à 1 ou de 1 à 0 pour x
integrale de 0 à x^(1/3) pour y ?
merci.
-----

[invitedcb8d9bb]

integrale double

[invitedcb8d9bb]

voici le bon post :
bonjour,
on a
D={ (x,y)reels tel que 0<=x<=1 et x^(1/3)<=y<=x^3 }
orienté dans le sens positif et qui est la réunion des courbes G={ (x,y)reels tel que 0<=x<=1 et y=x^3 }
et H={ (x,y)reels tel que 0<=x<=1 et y=x^(1/3) }
je souhaite calculer :

et

et je ne sais pas quelles sont les bornes pour I1 et I2 ?
est-ce que c'est :
pour I2 : integrale de 0 à 1 ou de 1 à 0 pour x
integrale de 0 à x^(1/3) pour y ?
merci.

[inviteae224a2b]

D'après ce que tu écris, I1 et I2 sont des intégrales simples.



Maintenant l'intégrale I dans D est double et alors tu dois d'abord intégrer selon y entre et . Si ton calcul est bon alors I = I1 - I2.

Cela se voit bien avec un dessin.

Enfin je crois

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedcb8d9bb]

pourquoi I=I1-I2 ?
et pas I=I1+I2
ou I=I2-I1 ?

[invitedcb8d9bb]

on a
D={ (x,y)reels tel que 0<=x<=1 et x^(1/3)<=y<=x^3 }
orienté dans le sens positif et qui est la réunion des courbes G={ (x,y)reels tel que 0<=x<=1 et y=x^3 }
et H={ (x,y)reels tel que 0<=x<=1 et y=x^(1/3) }
et

je souhaite calculer :

et

j'applique Green-Riemann sur I1 et I2 et je trouve :

et

et je ne sais pas quelles sont les bornes pour I1 et I2 ?
est-ce qu'on a I=I1+I2 ou I=I2-I1 ou I=I1-I2 ?
merci.

[inviteae224a2b]

En fait cela dépend de la façon dont on interprête ton énoncé. Si on prend D={ (x,y)reels tel que 0<=x<=1 et x^(1/3)<=y<=x^3 } en comprenant que x^1/3 est la borne inférieure et x^3 la borne suérieure et dans ce cas I=I1-I2. Ou alors tu t'imposes que ton intégrale soit positive et alors entre 0 et 1, x^3 <= x^1/3 et donc dans ce cas tu inverses tes bornes d'intégration. Dans ce cas I=I2-I1.

Maintenant ta proposition de I1+I2 me fais dire que tu n'es pas trop à l'aise avec la représentation graphique des intégrales doubles.

Ton intégrale se lit (dans le cas où I=I1-I2), pendant que fait varier x de 0 à 1 je fait varier y de x^1/3 à x^3. Cela revient à tracer les courbes y=x^1/3 et y=x^3 pour x appartenant à [0;1]. Ensuite tu fais avec un crayon ce que te dis ton intégrale, à savoir:

fais aller ton crayon de x^1/3 à x^3 pour chaque x appartenant à [0;1] et alors tu verras que tu as dessiné l'aire comprise entre ces deux courbes. Si ton crayon est aller de haut en bas, alors tu ajoute une valeur négative, au contraire si ton crayon va de bas en haut tu ajoute une valeure positive.

Si cette description ne te vas pas je m'appliquerais plus.


PS: j'ai fais ma réponse avant de voir ton nouveau post donc je m'excuse si ça semble ne pas répondre à ce dernier.

[invitedcb8d9bb]

on a
D={ (x,y)reels tel que 0<=x<=1 et x^(1/3)<=y<=x^3 }
orienté dans le sens positif et qui est la réunion des courbes G={ (x,y)reels tel que 0<=x<=1 et y=x^3 }
et H={ (x,y)reels tel que 0<=x<=1 et y=x^(1/3) }
et

je souhaite calculer :

et

j'applique Green-Riemann sur I1 et I2 et je trouve :

et

et je ne sais pas quelles sont les bornes pour I1 et I2 ?
merci.

quelles sont les bornes pour I1 et I2 ?
pouvait-on appliquer Gree-Riemann ?

[invitedcb8d9bb]

quelles sont les bornes pour I1 et I2 ?
pouvait-on appliquer Green-Riemann ?

[invitedcb8d9bb]

En fait cela dépend de la façon dont on interprête ton énoncé. Si on prend D={ (x,y)reels tel que 0<=x<=1 et x^(1/3)<=y<=x^3 } en comprenant que x^1/3 est la borne inférieure et x^3 la borne suérieure et dans ce cas I=I1-I2. Ou alors tu t'imposes que ton intégrale soit positive et alors entre 0 et 1, x^3 <= x^1/3 et donc dans ce cas tu inverses tes bornes d'intégration. Dans ce cas I=I2-I1.

Maintenant ta proposition de I1+I2 me fais dire que tu n'es pas trop à l'aise avec la représentation graphique des intégrales doubles.

Ton intégrale se lit (dans le cas où I=I1-I2), pendant que fait varier x de 0 à 1 je fait varier y de x^1/3 à x^3. Cela revient à tracer les courbes y=x^1/3 et y=x^3 pour x appartenant à [0;1]. Ensuite tu fais avec un crayon ce que te dis ton intégrale, à savoir:

fais aller ton crayon de x^1/3 à x^3 pour chaque x appartenant à [0;1] et alors tu verras que tu as dessiné l'aire comprise entre ces deux courbes. Si ton crayon est aller de haut en bas, alors tu ajoute une valeur négative, au contraire si ton crayon va de bas en haut tu ajoute une valeure positive.

Si cette description ne te vas pas je m'appliquerais plus.


PS: j'ai fais ma réponse avant de voir ton nouveau post donc je m'excuse si ça semble ne pas répondre à ce dernier.

merci, j'ai compris le principe.
Est-ce que tu sais si on peut appliquer green-riemann dans le post n°8 ? si oui, quels sont les bornes ?