Convergence d'une série "particuière" (Spé MP)

[Deeprod]

Bonjour à tous,

Je dois étudier la convergence d'une série, la voici :



ou d est le nombre d'entier divisant n.


Alors mon raisonnement est le suivant, je suppose que l'on doit comparé cette serie avec la serie des "2/n+1", puisque finalement c'est la même avec des trous.

Donc étant donné la divergence de cette serie, j'aimerais montré que

Il existe un entier tel que,
Pour deux entiers distincts quelconques possèdant la même "parité du nombre de diviseurs", leur distance soit inferieur a cet entier.

Je pourrai donc minoré ma serie par une serie divergente, grace à cet entier.

Mais le résultat que je propose peut on le démontrer ? Ou est-il faux ?
Sinon, pouvez vous me donner quelques pistes...

Merci
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[invite2c3ff3cc]

Le nombre d'entier divisant n est impair ssi n est un carré parfait. Sauf erreur ta somme revient à

[bubulle_01]

Tu cherches à savoir si la suite converge ou tu t'intéresses à la somme ?
EDIT: Reponse au dessus ^^

[Deeprod]

Ok parfait, mais le problème est que je n'ai pas ce théorème dans mon cours, je vois bien comment démontrer le sens réciproque mais le sens direct semble plus délicat.

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Ok parfait, mais le problème est que je n'ai pas ce théorème dans mon courst.

De quel théorème parles-tu ?

[Deeprod]

Celui-ci :

"Le nombre d'entier divisant n est impair ssi n est un carré parfait"

L'implication direct ne m'inspire peu de chose pour l'instant

[bubulle_01]

N a un nombre impair de diviseurs lorsqu'il s'écrit de la forme :
avec nombres premiers et nombres entiers différents de 0.
Ceci est expliqué par le fait que chaque puissance sera paire, donnant un produit de nombres impairs pour diviseurs, soit un nombre impair.
(La combinaison impair/pair donnant pair et pair/pair donnant pair, la seule combinaison possible reste impair/impair)
En factorisant, on a ainsi :
qui est bien un carré parfait.

[God's Breath]

Beaucoup plus simplement que ce que propose bubulle_01.

Si p divise n, alors il existe q tel que n=pq.
On peut donc regrouper les entiers par paires {p,q} telles que n=pq, ce qui fera un nombre pair de diviseurs au total...
sauf si la soi-disant paire ne contient qu'un élément parce que p=q, donc n=p², ce qui est donc possible si, et seulement si, n est premier, et pour une seule "fausse paire" réduite à un élement qui conduit à un nombre impair de diviseurs.

[bubulle_01]

C'est vrai que c'est prouvable rien qu'en exprimant son idée de facon écrite, mais je préfère tout de même retrouvé la conclusion par un résultat.
Ceci dit, il n'y a aucun problème dans ta démonstration, cela reste juste une facon de faire, qui diffère selon les personnes =)

[Gwyddon]

C'est vrai que c'est prouvable rien qu'en exprimant son idée de facon écrite, mais je préfère tout de même retrouvé la conclusion par un résultat.

Je ne vois pas de différence de rigueur entre ta démo et celle de God, et je préfère très nettement la sienne qui ne fait pas appel à de l'artillerie lourde.

[bubulle_01]

Je ne vois pas de différence de rigueur entre ta démo et celle de God, et je préfère très nettement la sienne qui ne fait pas appel à de l'artillerie lourde.

Je n'ai pas parlé de rigueur !
J'ai juste dit que la facon de démontrer diffère selon chaque personne et que, pour mon cas, le passage par le calcul est un peu plus clair ^^

[Deeprod]

Merci bien pour votre aide !!

[invitec053041c]

Je n'ai pas parlé de rigueur !
J'ai juste dit que la facon de démontrer diffère selon chaque personne et que, pour mon cas, le passage par le calcul est un peu plus clair ^^

Pour être honnête, pas vraiment.
Ce que veut dire Gwyddon, c'est qu'on préfèrera une démonstration utilisant un raisonnement et des outils les plus simples possibles, ce qui n'est pas le cas en utilisant la décomposition en facteurs premiers (la fameuse artillerie lourde ).
A trop utliser ce genre de gros théorème, le problème qui pourrait se poser serait de l'utiliser dans la démonstration d'un lemme qui aurait en fait servi à démontrer le th. de décomposition...

[Gwyddon]

Hello,

Une petite coquille s'est glissée dans la démo de God's Breath, je l'avais vue et rectifiée en cours de lecture mais bon mieux vaut le dire

sauf si la soi-disant paire ne contient qu'un élément parce que p=q, donc n=p², ce qui est donc possible si, et seulement si, n est premier, et pour une seule "fausse paire" réduite à un élement qui conduit à un nombre impair de diviseurs.

Il faut lire "si, et seulement si, n est un carré parfait" bien entendu

[invite1237a629]

Et à quel niveau d'études environ voit-on ce théorème ? ^^'

[God's Breath]

Merci Gwyddon.

[God's Breath]

Et à quel niveau d'études environ voit-on ce théorème ? ^^'

Je n'ai jamais appris ce résultat en tant que théorème, je le démontre chaque fois que j'en ai besoin, c'est-à-dire très rarement.