Topologie induite par un écart

[invite769a1844]

Bonsoir,

je voulais savoir si les écarts peuvent induire des topologies comme les distances le font.

Merci pour vos réponses
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[invite57a1e779]

Bonsoir,

je voulais savoir si les écarts peuvent induire des topologies comme les distances le font.

Merci pour vos réponses

Tout à fait, un écart définit une structure uniforme, et par suite une topologie, exactement de la même facçon qu'une distance.

[invite769a1844]

Tout à fait, un écart définit une structure uniforme, et par suite une topologie, exactement de la même facçon qu'une distance.

c'est à dire avec comme base les boules ouvertes?

[invite57a1e779]

c'est à dire avec comme base les boules ouvertes?

Exactement, mais dans les boules de centre x, tu ne trouveras jamais les points dont l'écart à x est infini, et tu trouveras tous les points dont l'écart à x est nul. Si de tels points existent, la topologie obtenue ne sera pas séparée.

La structure uniforme définie par l'écart a pour base les pour .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

Exactement, mais dans les boules de centre x, tu ne trouveras jamais les points dont l'écart à x est infini, et tu trouveras tous les points dont l'écart à x est nul. Si de tels points existent, la topologie obtenue ne sera pas séparée.

La structure uniforme définie par l'écart a pour base les pour .

ok je vois.

Soient X un ensemble quelconque et Y un espace métrique.



est un écart sur l'ensemble E des applications de X dans Y.

Si j'ai bien compris la topologie sur E associée à l'écart d est la topologie de la convergence uniforme, et en fait on peut mettre la topologie de convergence uniforme même sur des espaces de fonctions non bornées (ie même quand le diamètre de Y est non borné et les applications non continues), c'est bien ça?

[invite57a1e779]

ok je vois.

Soient X un ensemble quelconque et Y un espace métrique.



est un écart sur l'ensemble E des applications de X dans Y.

Si j'ai bien compris la topologie sur E associée à l'écart d est la topologie de la convergence uniforme, et en fait on peut mettre la topologie de convergence uniforme même sur des espaces de fonctions non bornées (ie même quand le diamètre de Y est non borné et les applications non continues), c'est bien ça?

Tu as très bien compris, on pourrait même imaginer que l'on ait qu'un écart sur .
Par contre, je ne comprends pas ta remarque sur les applications non continues.
Pour avoir une distance définissant la convergence uniforme, on a besoin de fonctions bornées, mais non nécessairement continues.
D'où l'importance du théorème : si une suite de fonctions continues converge uniformément, alors sa limite est continue.

[invite769a1844]

Tu as très bien compris, on pourrait même imaginer que l'on ait qu'un écart sur .
Par contre, je ne comprends pas ta remarque sur les applications non continues.
Pour avoir une distance définissant la convergence uniforme, on a besoin de fonctions bornées, mais non nécessairement continues.
D'où l'importance du théorème : si une suite de fonctions continues converge uniformément, alors sa limite est continue.

C'est vrai, c'est juste que pour l'instant les exemples que j'ai vu de tels espace sont les espaces de fonctions continues bornées avec la métrique uniforme.

merci

[invite35452583]

est un écart sur l'ensemble E des applications de X dans Y.

Ceci dit si tu ne t'intéresses qu'à définir une topologie cet écart se transforme aisément en distance : D(x,y)=max(d(x,y),1). Où d est l'écart que tu as défini. Il est facile de voir que les deux topologies définies sont identiques.
Tu as donc toujours une distance D (sans rien supposer sur tes fonctions) respectant une suite (fn) converge uniformément vers f ssi D(fn,f) tend vers 0.
Ce qui différencie le plus un écart d'une distance est non pas le fait que ce premier peut prendre des valeurs infinies mais le fait qu'il n'y ait pas de réciproque à x=y=>d(x,y)=0.

Maintenant, pour la plupart des espaces fonctionnelles étudiés X est localement compact (R (ou C)-ev de dimension finie ou sous-truc pas trop moche de ceux-ci). Y n'est pas nécessairement métrisable ou est fournie sans métrique. La topologie la mieux adaptée est généralement la topologie compacte-ouverte : topologie engendrée par les B(K,U)={f : X->Y, éventuellement vérifiant telle ou telle propriété, telles que f(K) soit inclus dans U} où K est un compact de X et U un ouvert de Y. (les ouverts sont donc les unions quelconques des intersections finies de B(K,U)). Cela reste définissable même si X n'est pas localement compact mais alors ça n'a pas de très bonnes propriétés.
Si X est compact et Y métrique cela définit la même topologie que celle de la convergence uniforme. cf l'exercice (corrigé) n°3
Donc, cette topologie pour Y métrique est celle de la convergence uniforme sur tout compact (nettement plus pratique que la convergence uniforme).

[invite769a1844]

Ceci dit si tu ne t'intéresses qu'à définir une topologie cet écart se transforme aisément en distance : D(x,y)=max(d(x,y),1).

Je suppose que tu voulais dire que D(x,y)=inf(d(x,y),1).

Je vois bien que mais je ne vois pas comment montrer qu'il existe c>0 tel que .

[invite35452583]

Je suppose que tu voulais dire que D(x,y)=inf(d(x,y),1).

oui ou "min".

Je vois bien que mais je ne vois pas comment montrer qu'il existe c>0 tel que .

c n'existe, a priori, pas. Ces deux distances ne sont pas en général équivalentes mais sont topologiquement équivalentes (définissent les mêmes ouverts).
Ce que l'on a c'est B_d(x,e)=B_D(x,e) pour tout 0<e<=1 ce qui suffit amplement.

[invite769a1844]

oui ou "min".

c n'existe, a priori, pas. Ces deux distances ne sont pas en général équivalentes mais sont topologiquement équivalentes (définissent les mêmes ouverts).
Ce que l'on a c'est B_d(x,e)=B_D(x,e) pour tout 0<e<=1 ce qui suffit amplement.

Je vois, merci homotopie, je vais regarder un peu plus cette topologie "compacte-ouverte" que je ne connaissais pas.