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Propriété caractérisant IR



  1. #1
    rhomuald

    Propriété caractérisant IR


    ------

    Bonjour, j'ai déjà vu comme définition de IR,

    que est le plus petit corps contenant ayant la propriété de la borne supérieure et inférieure.

    Ceci m'amène à plusieurs questions:

    Est-ce que l'intersection de corps est un corps?

    Est-ce que l'intersection de corps ayant la propriété de la borne inférieure et de la borne supérieure est un corps ayant la propriété de la borne (inf et sup)?

    Comment prouver tout ça?

    merci pour vos indications.

    -----

  2. #2
    Ksilver

    Re : propriété caractérisant IR

    Une intersection de corps est encore un corps est totalement trivial par la définition de corps (suffit de vérifier tous les axiome des corps quoi...)



    la propriété de la borne supérieur n'est en revanche pas une propriété des corps, mais une propriété des corps ordoné, (faut une relation d'ordre pour parler des bornes sup) et l'intersection de telle corps demande des précaution (faut que leur relation d'ordre soit compatible etc...)

    de plus penser en terme "d'intersection de tous les corps vérifiant cette propriété" serait extremement maladroit : la classe des surcorps de Q n'est pas un ensemble, on à donc pas le droit de faire l'intersection de ces elements....


    Il faut le voir dans l'autre sens :

    si tu as un corps K qui contiens Q et qui vérifie la propriété de la brone sup, alors il contiens R (les réel serait l'ensemble des bornes sup des segments de rationel en fait, c'est la construction de R par les coupure de dedekind...). apres je ne sais pas si il existe d'autre corps K ayant cette propriété que R lui meme . et note surtous que ca ne prouverait meme pas l'existence de R puisque il peut ne pas y avoir de telle corps K.

  3. #3
    homotopie

    Re : propriété caractérisant IR

    La caractérisation minimale de R, c'est un truc que j'avais regardé :
    un groupe ordonné abélien* non discret (sous-entendu totalement ordonné) vérifiant la propriété de la borne supérieure ne peut être, il me semble, que R.
    * : je me demande d'ailleurs si ce n'est pas une conséquence d'être un groupe ordonné.

    Le point fondamental est le suivant : ce groupe est archimédien (si x,y>0 il existe un entier n tel que nx>y)
    En effet, sinon il existe deux éléments x' et y tels que nx'<y pour tout entier n, (autrement dit il existe des infiniment petits pour un élément).
    Montrons que cela est incompatible avec la propriété de la borne supérieure : on pose I(y)={x>0 ; nx<y pour tout entier n} celui-ci est non vide car contient x' et majoré par y donc devrait admettre une borne supérieure s.
    Or s-x' majore lui-aussi I(y), en effet, sinon soit x dans I(y) vérifiant x>s-x', on a alors s<x+x'<2.max(x,x') avec max(x,x') dans I(y) car x et x' le sont ce qui contredit que s majore I(y).
    s-x' est donc aussi dans les majorants de I(y) mais est strictement inférieur à s ce qui contredit la nature de borne supérieure de s.
    I(y) n'admet donc pas de borne supérieure ce qui contredit une des propriétés de ce groupe.
    (Il faut aimer les raisonnements par l'absurde ).

    Pour envoyer le groupe dans R, on a d'abord besoin de deux lemmes (assez évidents) :
    1) soient x,y>0 dans G, p,q, p',q' des entiers alors px<qy équivaut à p'x<q'y p/q=p'/q'
    2) px<qy implique p'x<q'y si p'/q'<p/q.

    On envoie les éléments du groupe dans R ainsi :
    on choisit un élément U<0 quelconque.
    Pour x>=0, on pose Ix={p/q rationnels, p>=0,q>0 tels que pU<=qx}.
    Ix est bien défini d'après le lemme 1
    Ix contient au moins un élément (0) et est majoré par un entier p car c'est archimédien et d'après le lemme 2.
    Ix admet donc une borne supérieure que l'on note f(x).
    f(-x)=-f(x) pour x<0 ; f(0)=0.

    f est un morphisme (manipulation techniques pénibles mais classiques).

    f est injectif, en effet pour x>=0 il existe q>0 tel que U<qx donc f(x)>1/q et est donc non nul. Pour x<0, on a f(x)=-f(-x) qui est non nul aussi. Le noyau est donc réduit à {e}.

    f(G) est donc un sous-groupe de R. Si G est non discret il n'est pas de la forme Z.a pour un élément a de l'image. Il est donc dense et vérifie l'axiome de la borne supérieure donc est égal à R.

    L'absence de la nécessité de la multiplication est due au fait que celle-ci peut être définie par la seule addition (dans Q) et l'ordre (dans R).

    Donc parler d'intersection de corps ordonné ayant la propriété de la borne supérieure c'est facile : s'ils vivent dans un même corps ordonné alors ils sont égaux.

    Par contre il faut faire attention que lorsqu'on injecte R dans un corps ordonné K strictement plus grand alors les seules parties de R ayant une borne supérieure sont celles qui admettent un maximum. En effet, un sup (dans R) s est majoré strictement par s-e pour n'importe quel infiniment petit e (et il en existe forcément car il n'y a plus de place à distance finie de 0 et que l'inverse d'un infiniment grand est un infiniment petit ), mais s-e majore aussi tous les éléments autres que s donc tous si s n'est pas un max. La trace de la topologie (les ouverts sont les unions d'intervalle) de K sur R est la topologie discrète.

  4. #4
    Médiat

    Re : propriété caractérisant IR

    Merci homotopie.
    Deux remarques :
    on choisit un élément U<0 quelconque.
    Je suppose que tu voulais écrire U>0.

    Une caractérisation de IR unique à isomorphisme près (même en imposant le cardinal ) ne peut être du premier ordre.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    rhomuald

    Re : propriété caractérisant IR

    Merci pour ces explications.

    Mais on connait des corps ordonnés qui contiennent strictement IR?

  7. #6
    homotopie

    Re : propriété caractérisant IR

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Merci homotopie.
    Deux remarques :
    Je suppose que tu voulais écrire U>0.
    Tu supposes bien.

    Citation Envoyé par Médiat
    Une caractérisation de IR unique à isomorphisme près (même en imposant le cardinal ) ne peut être du premier ordre.
    Ci-avant, j'ai remplacé la caractérisation classique de R "corps (donc le groupe sous-tendu est abélien) archimédien (donc ordonné) complet" par "groupe abélien ordonné "complet"". L'existence d'une "bonne" multiplication et du caractère archimédien se déduise d'après moi des autres propriétés.
    Les propriétés de la multiplication exigées pour être un corps ordonné sont finies.
    N'étant pas très à l'aise dans les théories des modèles logiques (j'ai à peu près compris le théorème 9 de ton introduction aux modèles du 1er ordre) , peux-tu me confirmer que cela signifie que la propriété de la borne supérieure n'est pas du 1er ordre (comme le laisse sous-entendre le th. 5 du même document) ? Ou alors me suis-je fourvoyé ?

  8. #7
    Médiat

    Re : propriété caractérisant IR

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    peux-tu me confirmer que cela signifie que la propriété de la borne supérieure n'est pas du 1er ordre (comme le laisse sous-entendre le th. 5 du même document) ? Ou alors me suis-je fourvoyé ?
    Pas du tout fourvoyé, tu as parfaitement raison.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  9. #8
    Ksilver

    Re : propriété caractérisant IR

    "Une caractérisation de IR unique à isomorphisme près (même en imposant le cardinal ) ne peut être du premier ordre." >>> c'est juste ca :

    on ajoute une constance c fixé, et on considére la suite d'axiome d'axiome Pn : 1+1..+1 n fois < c.


    tous sous ensemble finit de {Pn} U {axiome de R} à un modéle, mais pas la théorie entière, comme la montré Homotopie : contradictoire avec le théorème de compacité.


    mais dans ce cas, est-ce qu'on peut avoir une caractérisation du premier ordre du R de l'analyse non standard qui contiens effectivement un element c, telle que pour tous n< c.

  10. #9
    Médiat

    Re : propriété caractérisant IR

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    tous sous ensemble finit de {Pn} U {axiome de R} à un modéle, mais pas la théorie entière, comme la montré Homotopie : contradictoire avec le théorème de compacité.
    Si, si, cette théorie (au sens du premier ordre) a des modèles, par compacité, comme tu viens de le démontrer, des modèles qui vérifient les mêmes formules du premier ordre que IR, mais qui ne sont pas archimédiens (et donc non-standard).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #10
    homotopie

    Re : propriété caractérisant IR

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    Merci pour ces explications.

    Mais on connait des corps ordonnés qui contiennent strictement IR?
    Oui, le plus "petit" est celui-ci :
    On considère le corps des fractions rationnelles R(X). (X va être décrété infiniment grand).
    On définit l'ordre ainsi :
    Une fraction
    C'est évidemment compatible aux classes P/Q=P'/Q' équivaut à PQ'=P'Q et il n'y a plus qu'à regarder le coefficient de plus haut degré et à utiliser la propriété a et 1/a ont même signe.
    P/Q>=M/N <=> P/Q=M/N ou P/Q-M/N>0
    Si P/Q>0 et M/N>0, on a P/Q+M/N=(PN+MQ)/(QN), on prend les termes de plus haut degré positifs.
    Le coefficient de plus haut degré de QN est le produit de ceux de plus haut degré de Q et de N donc positif. Celui de PN+MQ= produit de deux termes de plus degré ou somme de deux tels produits, selon que deg(P/Q)=deg(P)-deg(Q) est égal à deg(M/N) ou non, dans les deux cas c'est positif. On a bien P/Q+M/N>0.
    Il est encore plus facile de vérifier que P/Q.M/N>0.

    Remarque, R est alors totallement "dilué" (la topologie induite est la topologie discrète). On peut faire la même construction pour Q à la place de R, ou en partnat de n'importe quel corps archimédien. Peut-on retrouver celui-ci ? Oui, on considère le sous-anneau :{y; il existe n entier tel que lyl<n.1}, on voit assez facilement que les inversibles sont ceux pour lesquels, il existe m>0 tel que 1/m<lyl. La sous-partie de cet anneau constitué des "infiniments petits" (n.lyl<1 pour tout entier n) est un idéal maximal (c'est le complémentaire des inversibles), donc le quotient de cet anneau par cet idéal est un corps que l'on peut ordonner dont il n'est pas difficile de voir qu'il est archimédien (cette contruction peut se faire pour n'importe quel corps ordonné) et que si le corps est K(X) avec K archimédien le corps obtenu n'est autre que K en tant que corps ordonné.

    C'est totalement disconnexe pour la topologie de l'ordre. En effet, soit un connexe C de (R(X),<), ayant au moins deux éléments a et b, avec a<b. Comme l'addition est continue (elle est compatible avec l'ordre), C-a est connexe. On pose c=b-a. c=P/Q>0 admet un infiniment plus petit, en effet, soit n=deg(c)=deg(P)-deg(Q) élément de Z alors e=Xn-1 en est un. En effet, P/Q-m.Xn-1=(P-mQXn-1)/Q. On a deg(QXn-1)=deg(Q)+n-1=deg(Q)+(deg(P)-deg(Q))-1=deg(P)-1, le coefficient de plus haut degré de P-mQXn-1 est donc celui de P, il s'en suit donc que P/Q-mXn-1 a même signe que P/Q donc positif.
    On a bien m.e<P/Q pour tout entier n.
    Maintenant, on pose U={x tel que m.x<c pour tout entier m>0} (={infiniments plus petits que c} U {<=0}). c'est évidemment stable par somme.
    U est ouvert, en effet : ]x-1;x+e[ est dans U.
    U est fermé, montrons que le complémentaire est fermé x dans le complémentaire ]x-e;x+e[ est dans le complémentaire : soit y dans cet intervalle, on a y>x-e donc 2.y>2x-2e=x+(x-2e)>x+0=x, y est bien dans CR(X) U.
    L'intersection de cet ouvert et fermé n'est ni vide (contient 0) ni égal à C (ne contient pas c) donc C n'est pas connexe.

    Cette propriété reste vraie pour n'importe quel corps ordonné autre que ceux isomorphes (en tant que corps ordonné, bien sûr) à R.
    Si on a un connexe contenant deux éléments a et b on a un connexe contenant 0 et c>0. Si c admet des infiniments petits alors on aboutit à la mêm contradiction que ci-dessus.
    Or si 1 admet des infiniments petits (ou équivalemment des infiniments grands, ils sont inveres des autres) tout nombre positif admet des infiniments petits. En effet : si celui-ci est comparable à 1 (il existe m et n tels que cet élément soit entre 1/n et m) alors ils ont même infiniments petits.
    si celui-ci est un infiniment grand pour 1 alors 1 convient.
    si celui-ci est un infiniment petit par rapport à 1, alors son carré convient. n.c²>c implique c(nc-1)>0 or c>0 donc nc-1>0 et nc>1 (contradiction).

    Pour ne pas être totalement disconnexe, il faut donc que ce corps soit archimédien et donc s'injecte comme corps ordonné dans R.
    Or, soit un sous-corps de R, celui-ci contient Q. Maintenant, si il contient un connexe C ayant au moins deux éléments il contient tous les réels strictement compris entre a et b sinon cela donne une possibilité de coupure contradictoire avec la connexité. (b-a)/2>0, il existe un rationnel 0<c'<c donc inclus dans ]a,b[ -(a+b)/2 inclus dans le sous-corps donc ]-c';c'[ est inclus dans le sous-corps et ce corps contient l'union de tous les ]r-c;r+c[ or ceci est égal à R.
    Le corps est donc isomorphe à R.

    On peut présenter ainsi R : c'est le seul corps ordonné non totalement disconnexe.

  12. #11
    homotopie

    Re : propriété caractérisant IR

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Pas du tout fourvoyé, tu as parfaitement raison.
    OK, merci.

    Pour Ksilver, je connais très mal l'analyse non standard.

  13. #12
    Ksilver

    Re : propriété caractérisant IR

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Si, si, cette théorie (au sens du premier ordre) a des modèles, par compacité, comme tu viens de le démontrer, des modèles qui vérifient les mêmes formules du premier ordre que IR, mais qui ne sont pas archimédiens (et donc non-standard).
    euh, oui, mais ce que je voulais c'était essayé de prouver ce que tu disait : R n'est pas caractérisé par des propriété du premier ordre, (meme si on impose le cardinal). enfin ca revient au meme finalement.

  14. #13
    Médiat

    Re : propriété caractérisant IR

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    euh, oui, mais ce que je voulais c'était essayé de prouver ce que tu disait
    Ooops, désolé, j'avais mal compris.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. #14
    homotopie

    Re : propriété caractérisant IR

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    la caractérisation classique de R "corps (donc le groupe sous-tendu est abélien) archimédien (donc ordonné) complet" par "groupe abélien ordonné "complet"".
    J'ai oublié de préciser, ici, complet=propriété de la borne supérieure (et donc de la borne inférieure) : toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure. Il y a d'autres définitions dans la littérature,

    Par exemple (quoique peu usité) complet pour une structure ordonnée=toute partie non vide admet une borne supérieure, pour cette définition R n'est pas complet.

    Autre exemple, complet=toute suite de Cauchy converge.
    Dans ce dernier sens, R n'est pas le seul corps ordonné complet :
    En effet, si on reprend R(X), on peut le munir d'une distance ultra-métrique :
    lP/Ql=kdeg(P/Q) avec k>1. On peut alors le compléter.
    Description rapide de ce complété. Toute fraction rationnelle admet un développement en série de Taylor :
    Mais deg(Q) termes consécutifs vérifient une même relation linéaire à partir d'un certain rang. Or, il n'est pas très difficile de voir que dans le complété toutes ces séries de Taylor sont bien définies, que tout élément admet un tel développement et que deux éléments sont égaux si et seulement si ils ont même développement.
    On peut aussi définir ce corps complet pour la distance ultra-métrique directement à partir de ces développements.

  16. #15
    rhomuald

    Re : propriété caractérisant IR

    Merci beaucoup.

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Par exemple (quoique peu usité) complet pour une structure ordonnée=toute partie non vide admet une borne supérieure, pour cette définition R n'est pas complet.
    Il me semble que j'avais déjà vu cette notion pour l'étude de on dit que la structure ordonnée est un treillis complet ou un espace complètement réticulé.

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