Cycles dans les fractions en base décimale

[inviteb4b89598]

Bonsoir, j'aimerais savoir comment explique-t'on la présence de "cycles" dans certaines fractions en base décimale, ex 1/7 = 0,142857 142857 ...
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[invitea07f6506]

C'est très simple. Pose ta division à la main.
1 = 0*7+1
10 = 1*7+3
30 = 4*7+2
etc.
A chaque étape, le reste est inférieur à 7, donc inférieur à 10. Après 10 itérations au plus, tu vas donc retomber sur un reste déjà vu (au pire, les restes sont successivement les 10 chiffres, mais il peut n'y en avoir qu'un : pour 1/3 par exemple). Disons que tu retombes sur ce reste après n itérations.
Une fois que tu est retombé sur ce reste, tu va recommencer exactement la même séquence, et donc trouver les mêmes quotients à chaque fois, à n d'intervalle. Ton développement décimal sera donc composé des cycles de longueur n tous identiques.

Si tu divises par un nombre compris entre 10 et 99, tu énumère au pire les 100 premiers nombres, 00 inclu. Tu va donc avoir des cycles de longueur au plus 100. De même pour des divisions par des entiers encore plus grands.

[inviteb4b89598]

D'accord, merci de ta réponse !