Bonjour,
Aujourd'hui, j'ai eu droit à un exo qui était à peu pres celui ci.
f est une fonction défini sur IR, continue sur IR.
f est T-périodique.
Prouver que f est bornée.
Comment fait on ?
Si je pouvais avoir des pistes, car en fait, on l'admet dans notre cours, mais je souhaiterais aller plus loin.
Salut.
Il suffit de considérer IR comme une juxtaposition de [n T, (n+1) T] sur lesquels f a un comportement identique, et voir ce que la continuité donne sur un de ces segments.
Je te suis. Mais je vois pas où tu veux en venir. Ce que je vois pas ...C'est comment expliquer avec la continuite qu'il n'y a pas de ''singularité" (comme la fonction inverse en zero...)
Parceque tu n'as pas à l'idée un des théorèmes fondamentaux de la continuité: f continue sur [a,b], alors f atteint ses bornes sur [a,b]; donc f est bornée sur [a,b].
Soit, et ce théorème, on le démontre comment ?
(C'est le théoreme que l'on admet en fait..)
Une idée m'est venu, en parallele avec la physique, où nous avons un peu fait du fourier. Avec le theoreme, toute fonction périodique peut être décomposée en une somme de fonctions sinusoidales. Ne pourrais t'on pas majorer notre fonction avec cette somme de fonctions sinusoidales ? Le probleme étant que cette somme est cependant infini...
Quitte à admettre un théorème, admet le théorème de "f continue sur [a,b] donc f bornée sur [a,b]", parceque Fourier c'est un outil puissant, et qui s'applique bien pour f continûment dérivable, ce qui n'est pas le cas...
Je vois.
Mais je n'ai toujours pas de réponse à ma question, comment peut on le démontrer ?
J'ai beau chercher, je ne vois pas. Et ma prof veut que je veux le démontre (Ils sont sadiques le profs de prépa...)
C'est un théorème de cours ça..
Effectivement, mais il y a une démonstration.
D'ailleurs, je viens de la trouver sur Wikipedia (J'avais cherché en vain mais avec les mauvais mots clefs).
Pour ceux qui sont intéressés :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...8me_des_bornes
Ps : Le fait que ce soit du cours, ne veut pas dire que cela n'est pas comment dire, démontrable.
Merci pour ta patience.
http://biland.ouvaton.org/IMG/pdf/pthvalint.pdf
J'ai trouvé une démo encore plus simple...Après coup malheureusement. ^^"
