2 questions sur les matrices (basiques)

[invite1237a629]

Plop !

Décidément, c'est la série je-pose-plein-de-questions

Alors... je ne connais pas le tex pour les matrices, donc j'espère que ce sera clair !


On a :

(1 0 2 0)
(0 3 0 4)
(5 0 6 0)
(0 7 0 8)

(matrice A)

On a montré qu'elle était inversible. Ensuite, on cherche son inverse. Et c'est là que je ne comprends pas la méthode...









{e1,e2,e3,e4} doit être la base canonique ^^

Après, on a exprimé e1, e2, e3, e4 en fonction des ' et on a écrit les vecteurs colonnes obtenus -> POURQUOI ? Pourquoi est-ce que ça donne l'inverse de la matrice ?


Deuxième question :
Comment trouve-t-on la transposée d'une matrice ? (formule générale s'il y en a ^^)



Bon, euh oui, ça peut paraître stupide comme question, mais l'algèbre ce n'est vraiment pas mon truc (d'ailleurs, si vous pouviez éviter les gros mots comme morphisme, bijection, etc... ce serait sympa pour mes neurones )

Bonne nuit !
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[invitebe0cd90e]

1) Parce qu'une matrice inversible correspond exactement à un changement de base. Par definition, les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base exprimés dans l'ancienne sont les vecteurs colonnes. Si ta matrice permet d'aller de la base 1 a la base 2, la matrice inverse permet de passer de la 2 à la 1. Donc exprimer les e_i en fonction des e'_i revient exactement à passer de la base 2 a la base 1, cad d'ecrire l'inverse de la matrice....

2) pour la transposé pas besoin de formules, suffit de prendre le "symetrique" de la matrice par rapport a la diagonale de haut-gauche vers bas-droit.

ex :

1 2
3 4

donne

1 3
2 4

[invite1237a629]

Aaaah

1) Parce qu'une matrice inversible correspond exactement à un changement de base. Par definition, les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base exprimés dans l'ancienne sont les vecteurs colonnes. Si ta matrice permet d'aller de la base 1 a la base 2, la matrice inverse permet de passer de la 2 à la 1. Donc exprimer les e_i en fonction des e'_i revient exactement à passer de la base 2 a la base 1, cad d'ecrire l'inverse de la matrice....

Compris ! Je n'avais point fait le lien entre la matrice de changement de base et la possibilité de l'appliquer à la recherche de la matrice inverse

Pour la transposée, oki pour la 2x2. Qu'en est-il pour les 3x3, 4x4 par exemple ? aij devient aji ?


Merci

[invitebe0cd90e]

Aaaah



Compris ! Je n'avais point fait le lien entre la matrice de changement de base et la possibilité de l'appliquer à la recherche de la matrice inverse

content que ca t'aille, j'avais peur de ne pas etre clair..

Pour la transposée, oki pour la 2x2. Qu'en est-il pour les 3x3, 4x4 par exemple ? aij devient aji ?


Merci

Oui, essentiellement c'est excatement ca ! tu retournes ta matrice comme une crepe suivant sa diagonale. Note que par definition, une matrice est dite symetrique si elle est egale a sa transposée.. donc si tu vois a quoi ressemble une matrice symetrique tu vois ce qu'est la transposée !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

content que ca t'aille, j'avais peur de ne pas etre clair..

Généralement, il faut juste allumer le moteur chez moi

Oui, essentiellement c'est excatement ca ! tu retournes ta matrice comme une crepe suivant sa diagonale. Note que par definition, une matrice est dite symetrique si elle est egale a sa transposée.. donc si tu vois a quoi ressemble une matrice symetrique tu vois ce qu'est la transposée !

J'avais plutôt vu les transposées avant les symétriques, mais je vois bien le rapprochement voui ^^



Dernière question, après !

Dans aij, i représente le n° de la ligne ou de la colonne ? Comment le retenir ?



Merci beaucoup jobherzt,

[invitebe0cd90e]

Dans aij, i représente le n° de la ligne ou de la colonne ? Comment le retenir ?

Arg, la question piège Moi non plus je ne retiens jamais, tout est affaire de convention ! l'essentiel est d'etre coherent... comme ca je dirais i = ligne, comme les abcisse et les ordonnées, mais il est possible qu'il y aie un piege... ne me fais donc pas trop confiance !

[invite1237a629]

Ok, si on est libres de choisir, c'est parfait ^^

Nenuit

[invite57a1e779]

Ok, si on est libres de choisir, c'est parfait

On n'est pas vraiment libre de choisir.

Théoriquement, tu peux faire initialement le choix que tu veux, mais tu dois le signaler, et t'y tenir, sous peine, justement, de confondre une matrice et sa transposée.

Faire le choix contraire du choix universel de la communauté mathématique, même en le signalant haut et fort, risque d'être source d'incompréhension et de quiproquos.

L'ordre, usuellement accepté, des indices est ligne-colonne, comme pour le produit AB de deux matrices : lignes de A multipliées par colonnes de B.

[invite1237a629]

Donc i = ligne, j = colonne...

Merci