Ensemble d'applications affines

[invite48b7a4f0]

Bonjour : soit f une application de R+ dans R tq pour tout x appartenant à R+ et tout y appartenant R+,
f(x+y) = f(x) + f(y)


Monter que pour tout x appartenant à R+ f(x) = f(1)x
ca n'a pas l'air aussi simple que cela n'y parait
Merci les amis !!
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[invitebb921944]

Bonjour.
Il me semble que tu peux montrer cela pour les rationnels en premier lieu, puis en déduire quelque chose pour les réels par densité... (Quoique ta fonction n'est pas nécessairement continue à priori, c'est balo...)

[invite57a1e779]

Bonjour.
Il me semble que tu peux montrer cela pour les rationnels en premier lieu, puis en déduire quelque chose pour les réels par densité... (Quoique ta fonction n'est pas nécessairement continue à priori, c'est balo...)

Attention Ganash, tu réagis avec, à l'esprit, l'étude des morphismes additifs de .

Ici, on travaille sur .
Il faut montrer que est croissante...

[invite48b7a4f0]

j'essaye, j'essaye...
Mais comment faire

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

j'essaye, j'essaye...
Mais comment faire

Commence par montrer que pour tout entier naturel et tout réel positif ou nul .

[invite48b7a4f0]

par récurrence,
Initialisation f(x) = f(x)
Supposons que f(nx) = n f(x)
montrons que f((n+1)x) = (n+1)(f(x))
n+1 (f(x)) = n f(x) + f(x)
Par HR, f(nx) = n f(x)
donc n+1 (f(x)) = f(nx) + f(x) = (f(nx + x)) = f((n+1)x)

Cela m'indique sur N mais pas sur R...
Ya t'il une histoire avec les densités ou les bijections ( de N sur Q)?

Merci pour votre précieuse aide...

[invite57a1e779]

Déjà, l'initialisation de ta récurrence devrait commencer à n=0, et pas à n=1.

Ensuite, essaie de montre que f(x) = xf(1) pour tout x rationnel,
puis que f est croissante : x<=y implique f(x)<=f(y).

[invite48b7a4f0]

f est croissante ou décroissante, comment savoir
puisque :
f(n +1) - f(x) = f(x) + f(1) -f(x) = f(1) qui peut être positif ou négatif

[invite48b7a4f0]

merci, ne regarde pas ce que j'ai marqué, tu vas t'arracher les cheveux, je dois être fatigué ce soir

[invite48b7a4f0]

Je pense à la récurrence aussi qui marche bien :
f(1/n) = f(1)/n
et vue que f(nx) = nf(x) , cela marche pour les rationnels
Maintenant il faut montrer que c'est croissant...
J'y retournes!!

[invite48b7a4f0]

Donc, on part de x < y
on sait que x = f(x) / f(1)
y = (f(y) / (f(1)

donc on a f(x) / 1 < f(y) / 1
ce qui donne f(x) < f(y)
Mais je ne vois comment généraliser sur R+ à partir des ratioonnels

[invite57a1e779]

ne regarde pas ce que j'ai marqué

J'ai regardé, et j'ai bien fait : c'est l'idée parce que f(1) ne peut pas être négatif, ton application va de dans .
Mais il faut comparer f(x) et f(y), pas seulement f(x) et f(x+1).

[invite48b7a4f0]

l'application va de R+ dans R :s

[invite57a1e779]

l'application va de R+ dans R :s

J'avais mal lu ton énoncé initial.

Avec ces hypothèses, le résultat est faux aller voir le message "fontion réelle additive non linéaire" à l'adresse http://forums.futura-sciences.com/thread76146-2.html

Le seul intérêt de considérer la fonction définie sur , c'est qu'elle soit à valeur dans .
Sinon, autant la considérer de dans , mais il faut ajouter une hypothèse sur la fonction : continuité, mesurabilité,...