EXO équa prépa

[gdm]

bonsoir,
je dois résoudre un probleme ou je ne comprends pas grand choses:
Soit l'équa diff: E : (x²+1) y' +(x-1)²y=x^3-x²+x+1
Pour une solution de E je trouve :exp(-x+ln(x²+1))+x
et pour l'ensemble des solutions exp(-x+ln(x²+1))+x+k avec k constante
ensuite on introduit une fonction H : x+(x²+1)/(x-1)²

question 4:
montrer en étudiant l'équa E que H est le lieu des points à tangente horizontale sur les courbes Ch ( Ch est la courbe intégrale de E passant par le point de coord (0,h) )

question 5:étudier la fonction H (variabilité,définition dérivées,asymptotes....)=> je l'ai fait

quesion 6:
discuter suivant les valeurs de h le nombre d points a tangente horizontale sur une courbe Ch donnée

question 7:
discuter suivant les valeurs de h l'allure de la courbe Ch
(pour moi l'allure de la courbe reste la meme pour h>0 car les solutions ne different que d'une constante)

question 8:
montrer que les courbes Ch pour h non nul admettent exactement 2 points d'inflexion .Montrer que l'une des tangentes d'inflexion a une direction indépendante de h et que l'autre passe par un point fixe ,indépendant de h.
(definition: on appelle point d'inflexion d'une courbe C représentant une fonction f de classe C² ,un point ou la fonction f'' s'annule en changeant de signe )
j'ai refléchi pas mal de temps mais je ne trouve pas de réponses ç ces questions!
Je vous remercie
-----

[gdm]

ya t-il qqn pour me guider??

[Nox]

Bonjour,

Désolé de te l'annocer mais il y a une erreur dès le début ... L'ensemble des solutions de l'équation homogène est (il manquait le lambda). Et je ne vois pas comment ta constante k si elle est non nulle permet de vérifier l'équation ... Tu ne peux pas toujours rajouter une constante à tes solutions comme ça ! Le paramètre que tu dois varier via ton h est donc et non k ...

Cordialement,

Nox

[gdm]

Merci Nox mais je pensais que pour trouver l'ensemble des solutions il suffit d'ajouter une constante !
si je veux trouver l'ensemble des solutions c'est donc Cexp(-x+ln(x²+1))+x??
et pour nue solution j'enleve le "C" ??
et pour les question concernant les courbes integrales avec H et h je vois aps trop

[A voir en vidéo sur Futura]

[Nox]

Bonjour,

La constante c'est quand tu intègres une expression pas pour résoudre une équadiff ... Sinon c'est ça ! Tu fais prendre une valeur particulière à C pour avoir une solution particulière ... Pour les courbes intégrales j'ai pas encore regardé ...

Cordialement,

Nox

[gdm]

a ouii j'ai en effet confondu avec l'integration!!!

[gdm]

comment je pourrai demontrer que les tangentes sont independantes (quesTion 8)??

[gdm]

lorsque qu'on demande de discuter le nombre de points a tangente horizontale ,si jet met que pour h<0 il ny en a aucun par ex est-ce que cela suffit???

[gdm]

je viens de voir que j'ai toujours pas compris l'histoire avc le h...

[Nox]

Bonsoir,

Alors on va y aller étape par étape ...

Tout d'abord, as-tu compris que le h est en fait le dans mon écriture ? Pour t'en convaincre écris y(0)=h et tu trouves =h.

La courbe a donc pour équation . Les points à tangente horizontale sont les points où la derivée s'annule. Or y est solution de ton équation différentielle. Donc il suffit de remplacer y' par 0. Tu obtiens alors que x et y vérifient la relation ie ie le point est sur la courbe représentative de H.

Par contre pour ta question 6 je suis un peu fatigué et je ne vois pas alors que je sens que c'est pas loin ... A l'instinct de toute façon ça ne peut être qu'un trinôme du second degré dont il faut discuter le signe du discriminant selon h ...

Cordialement,

Nox

[gdm]

merci par contre j'avais bien compris que delta "étais h

[invite76719122]

Gdm : God master

[invite76719122]

6)t'étudies h pour: h<0 ; h=0 ; 0<h<exp(3)/4 ; h=exp(3)/4 ; exp(3)/4<h ;

Rq:
exp(3)/4 est l'intersection de f(3) et H(x=3) pour 2 points à tangente horizontale.
le second point tu le connait c'est la H'(x)=0.

8)Les tangentes sont independantes de h car t'as f''(x)=(x-1)(x-3)exp(-x)h
f"(x)=0 si x=1 et x=3 => f'(1)=1 donc la t'as une tangente "sans" h.
f'(3)=1-4 hexp(-3) là tu cherches le point d'intersection de toutes les tangentes en x=3.
Tu connais une tangente horizontale pour x=3 telle que f(3)=11/2
A la fin tu dois trouver le point (11/2;11/2)

Rq:
(T): y(x)=f'(a)(x-a)+f(a)

Sinon t'as fait le Dl de physik?

[gdm]

heperionnnnn