pti pb pr exo sur équa. diff.

[invite776a26e4]

bonjour. pourriez-vous m'aider svp jariv à rien!....

1) On se propose de résoudre l'équation différentielle (E) y'+y=x+1, y étant une fonction réelle de la variable réelle x et y' sa dérivée.

a/On pose z=y-x; écrivez l'équation différentielle (F) satisfaite par z.

b/Résolvez (F), puis (E).

2) On appelle f_alpha la solution de (E) telle que f_alpha (0)=alpha et C_alpha la courbe représentative de f_alpha où alpha est un paramètre réel donné.

a/Etudiez les variations de f_alpha et donnez l'allure de C_alpha dans les trois cas alpha<0, alpha=0 et alpha>0.

b/Démontrez que, pour tout alpha, la tangente à C_alpha au point d'abscisse -1 passe par l'origine du repère.

c/Plus généralement, démontrez que toutes les tangentes aux courbes C_alpha en un point d'abscisse x₀ donnée se coupent sur C₀ .

Merci d'avance pour votre aide.
-----

[invite4793db90]

Salut,

tu bloques sur la première question? Parce qu'elle est pas bien compliquée... Si z=y-x, y=z+x et z vérifie une équation homogène...

[invite776a26e4]

merci mé apré c tro tro dur. jcompren rien du tt. jariv pa a fair cet exercice je c pa komen je v fair...?

[invite4793db90]

Salut,

tu devrais faire attention à ton orthographe...

Pour la première question, tu as trouvé l'équation différentielle vérifiée par z? Si c'est le cas, il te suffit de relire ton cours pour la résoudre (il y aura des exponentielles).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite776a26e4]

oui j'ai trouvé comme équation vérifiée par z, z'=-z. ensuite comme solution de (F) j'ai trouvé f(x)=Ce^-x et comme solution de (E) j'ai trouvé f(x)=Ce^-x+x.

pour les questions d'après, je trouve f_alpha=alpha*e^-x+x.
et j'ai f '_alpha=alpha*-e^-x+1

voilà après je n'arrive pas a étudier le sens de variation. mais est-ce que j'ai bon jusque là?

merci pour votre aide.

(sa va c'est mieux l'orthographe là??! )

[invite980a875f]

Salut,

(sa va c'est mieux l'orthographe là??! )

Bof bof...
Alors:

Pour :

Donc f est croissante.
Pour

Bon tu connais les variations de cette fonction!
Pour , il faut faire deux cas:
Si , alors f est croissante, décroissante sinon. Bon, je suis allé un peu vite pour le dernier, mais je peux préciser un peu si tu veux.
[EDIT] Heu désolé il y a un code tex qui passe pas, je le réécris en normal. C'est: -alpha*e^(-x)+1>1.[/EDIT]

[invite776a26e4]

j'ai pas trop compris, pourquoi quand alpha=0, f_alpha=x?
dans ce cas, moi je trouve f_alpha=1.
et c'est vrai que pour le dernier cas, ce n'est pas très clair!

[invite980a875f]

Salut,
fais un peu attention quand même!
Tu as toi-même écrit dans le post 5:

Bon, il me semble clair que si , alors , non?
Je précise pour le dernier cas ():
Ca donne successivement:




Bon, là c'est un peu chiant car il faut faire 2 cas: f' positive (comprise entre 0 et 1) et f'<0.
Alors:







Pour résumer:
si alpha<0, f est croissante sur R
si alpha=0, f(x)=x et donc f est croissante sur R
si alpha>0, f est croissante pour x>ln(alpha) et décroissante sinon (et de dérivée nulle pour x=ln(alpha)).

[EDIT]Arf, il y a encore deux codes TEX qui passent pas, j'en ai marre! Bon je les réécris.
Le premier c'est: -alpha{e}^{-x}+1<1
Et le deuxième: -\alpha{e}^{-x}+1>0[/EDIT]

Voilà a+