Application

[invite48b7a4f0]

Bonjour à tous,

Petite question de mon contrôle que je n'ai pas réussi à faire....

Soient A et B deux parties non vides d'un ensemble E et f l'application définie par


f : P(E) --> P(A) x P(B)
X --> (A inter X , B inter X)

1) Montrer que f est injective équivaut à ( A union B) = E
2) Montrer que f est surjective équivaut à A inter B = ensemble vide

1) Supposons f injective, soit x appartenant à ( A union B) donc
x appartient à A ou x appartient à B....

Mon problème c que je n'ai absolument pas compri la définition de l'application...


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[invitebb921944]

Bonjour.
Ton application est définie comme cela :
si K est une partie de E (donc un ensemble inclu dans E), alors on a :
f(K)=(A inter K, B inter K)
Ta fonction va dans P(A)xP(B), ça veut dire que son image est un couple (u,v) où u est une partie de A et v une partie de B.
Ici c'est bien le cas, en effet, A inter B est un ensemble inclu dans A, c'est donc une partie de A. Le raisonnement est le même pour la seconde variable du couple.

Maintenant, si tu arrives à montrer que
f(E)=f(AUB), alors par injectivité de f, tu auras AUB=E....
(E est bien une partie de E, AUB est bien une partie de E, donc f(E) et f(AUB) sont bien définies).

Je te conseille d'écrire f(E) et f(AUB) (même si tu ne vois pas ou ça va te mener) et de montrer qu'ils sont égaux (en raisonnant sur les ensembles, c'est assez facile)