compact

[invite769a1844]

Bonsoir, je bloque sur cette question:

Montrer que dans , si et sont deux compacts, alors la réunion des segments joignant un point de à un point de est un compact.

Merci pour vos indications
-----

[invite35452583]

Un moyen simple : construire une surjection continue d'un compact (AxBx[0,1], par exemple) sur cet ensemble.

[invite769a1844]

Bonsoir homotopie,

merci comme ça c'est beaucoup plus clair, du moins je pense:

je prends donc l'application qui est continue car polynômiale,
je montre que son image est bien , et avec Tychonoff faible on voit que l'ensemble de départ est compact, donc l'image aussi.

[invite35452583]

C'est aussi rapide que ça en effet.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2c3ff3cc]

je prends donc l'application qui est continue car polynômiale,
je montre que son image est bien , et avec Tychonoff faible on voit que l'ensemble de départ est compact, donc l'image aussi.

Expéditif et ça marche même dans un evt je pense.

Enfin ici clair que l'ensemble obtenu est fermé (réunion de fermés) et borné.

[invite769a1844]

Expéditif et ça marche même dans un evt je pense.

Enfin ici clair que l'ensemble obtenu est fermé (réunion de fermés) et borné.

mais il faudrait que ce soir une réunion finie de fermés ou il y a un argument qui m'échappe?

dans un evt, il faudrait vérifier que cette est continue pour que cette preuve marche.

Si on considère un espace topologique et un evt , qu'on note (resp. ) l'ensemble des applications de dans (resp. de dans ),

on sait que l'ensemble des applications continues de dans est une sous-algèbre de , mais je ne sais pas si est une sous-algèbre de .

[invite57a1e779]

dans un evt, il faudrait vérifier que cette est continue pour que cette preuve marche.

Par définition d'un espace vectoriel topogogique, l'application est continue.

Si on considère un espace topologique et un evt , qu'on note (resp. ) l'ensemble des applications de dans (resp. de dans ),

on sait que l'ensemble des applications continues de dans est une sous-algèbre de

Quelles sont les lois qui munissent d'une structure d'algèbre ?

[invite769a1844]

Par définition d'un espace vectoriel topogogique, l'application est continue.

oui c'est vrai, je ne sais pas pourquoi je me suis mis dans la tête que était aussi un vecteur, mais c'est un scalaire donc pas de souci.

Quelles sont les lois qui munissent d'une structure d'algèbre ?

oui là aussi j'ai généralisé trop vite la structure qu'on a pour .
on a pas de multiplication interne en général dans .

Merci

[invite2c3ff3cc]

mais il faudrait que ce soir une réunion finie de fermés ou il y a un argument qui m'échappe?

Oui je pensais à trois fermés (A, B et les "fils") mais on s'intéresse qu'aux "fils" en fait.

[invite35452583]

Oui je pensais à trois fermés (A, B et les "fils") mais on s'intéresse qu'aux "fils" en fait.

Oui mais non.
Pour A on prend la partie de l'hyperbole y=1/x pour x>0 fermé dans R².
Pour B on prend l'origine.
Et bien l'ensemble des segments reliant les points de A à n'est pas fermé.