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Calculs analytiques du determinant et des valeurs propres d'une matrice de Toeplitz



  1. #1
    Itchyban

    Calculs analytiques du determinant et des valeurs propres d'une matrice de Toeplitz


    ------

    Bonjour,

    je cherche à calculer analytiquement le determinant d'une matrice de Toeplitz (matrice dont les coefficients sur une diagonale descendant de gauche à droite sont les mêmes) pour en déduire de manière toute aussi analytique ses valeurs propres et vecteurs propres...
    Mais je n'y arrive pas du tout... je ne vois vraiment pas comment faire.
    Si quelqu'un sait et pourrait m'aider, ça serait vraiment gentil !
    Merci d'avance.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Itchyban

    Re : Calculs analytiques du determinant et des valeurs propres d'une matrice de Toeplitz

    Excusez moi, j'ai oublié de préciser que la matrice considérée est une matrice carrée n*n (et coefficients quelconques)

  4. #3
    Itchyban

    Re : Calculs analytiques du determinant et des valeurs propres d'une matrice de Toeplitz

    Hum... je vois que ça n'inspire personne...
    Sinon je dois trouver aussi le determinant, les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice carré n*n tridiagonales de Toeplitz... (seules la vraie diagonale de la matrice, celle du juste au dessus et celle juste en dessous de celle-ci ont des valeurs (les mêmes sur chaque diagonale), les autres valeurs sont nulles).

    En considérant que les valeurs sur la diagonale principale sont "a", celle de la diagonale juste en dessous sont "c" et celle de la diagonale juste au dessus sont "b", on me demande de montrer analytiquement que les valeurs propres sont : a + 2* sqrt(b*c)*cos(k*Pi / (n+1)), avec k = 1,...,n et n ordre de la matrice carrée...

    J'y arrive pas... en developpant les déterminants jusqu'à l'ordre 6, je ne trouve pas de relation de récurrence pour ce déterminant, (bc)^2 apparaissant pour l'ordre 4, (bc)^3 pour l'odre 6...
    Si quelqu'un a une idée...

  5. #4
    God's Breath

    Re : Calculs analytiques du determinant et des valeurs propres d'une matrice de Toeplitz

    Citation Envoyé par Itchyban Voir le message
    Sinon je dois trouver aussi le determinant, les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice carré n*n tridiagonales de Toeplitz
    Ce cas particulier est très classique.
    Tu trouveras ici
    http://les-mathematiques.u-strasbg.f...,426999,426999
    un lien vers un article où est donné le calcul des valeurs propres de matrices tridiagonales.

  6. A voir en vidéo sur Futura

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