Intégrale de Lebesgue : question simple

[invitee51caab2]

Bonjour,

J'aurais une petite question à propos de la théorie de la mesure. Comment justifier le fait que si une fonction, par exemple définie de [0,1] dans R, est continue sauf en un nombre fini de points, alors elle est mesurable ?

Avec Riemann, on disait qu'une fonction était intégrable si elle était continue sauf en certains points, et je voudrais donc "raccorder" ça avec Lebesgue.

De manière générale, pourrait-on dire : une fonction f : [0,1] -> R est mesurable si l'ensemble formé par ses points de discontinuité est de mesure nulle (pour la mesure de Lebesgue), ou cela n'a pas de sens ? Et si oui, comment le montrer ?

Merci et désolé pour ces questions très élémentaires
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[invite35452583]

Avec Riemann, on disait qu'une fonction était intégrable si elle était continue sauf en certains points, et je voudrais donc "raccorder" ça avec Lebesgue.

Si tu sais que toute suite croissante de fonctions étagées est mesurable alors il suffit de remarquer que toute fonction Riemann-intégrable est limite croissante de fonctions en escalier qui sont des fonctions étagées particulières.

De manière générale, pourrait-on dire : une fonction f : [0,1] -> R est mesurable si l'ensemble formé par ses points de discontinuité est de mesure nulle (pour la mesure de Lebesgue), ou cela n'a pas de sens ? Et si oui, comment le montrer ?

Oui, c'est vrai mais c'est moins évident. On a aussi une sorte de réciproque :
pour toute fonction mesurable f sur un intervalle X de R et tout e>0, on peut trouver un ensemble mesurable E tel que mesure de (X-E)<e et tel que f soit continu sur E.

Merci et désolé pour ces questions très élémentaires

Il n'y a pas être désolé (en plus ce n'est pas totalement élémentaire).

[invitee51caab2]

Ok merci pour ces réponses ! Mon problème initial était le suivant : je m'étonnais qu'en fait, je n'arrive pas à donner d'argument simple permettant de dire que si une fonction est définie de [0,1] dans R, continue partout sauf en 0, alors elle est mesurable. Apparemment, cela nécessite déjà un certain travail, et une rédaction lourde et pénible...
C'est assez étonnant que ce fait si évident soit aussi dur à prouver rigoureusement...

[invite986312212]

pour toute fonction mesurable f sur un intervalle X de R et tout e>0, on peut trouver un ensemble mesurable E tel que mesure de (X-E)<e et tel que f soit continu sur E.

attention: "contine sur E" signifie que f est vue comme fonction de E dans R, et non pas que E est l'ensemble des points de continuité de f vue comme fonction de X dans R.
L'indicatrice des rationnels par exemple n'est continue nulle part.

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[invite35452583]

attention: "contine sur E" signifie que f est vue comme fonction de E dans R, et non pas que E est l'ensemble des points de continuité de f vue comme fonction de X dans R.
L'indicatrice des rationnels par exemple n'est continue nulle part.

Oui j'aurais du le préciser et affiner le résultat par rapport à la discontinuité : toute fonction f continue d'un intervalle réel telle que sa restriction à un ensemble E de comesure nulle (l'intervalle privé de E est de mesure nulle) alors f est mesurable du moins si on prend la tribu borélienne complète (on ajoute à la tribu des boréliens les ensembles contenus dans un ensemble de mesure nul)
Ce n'est en fait pas très difficile : l'image réciproque d'un borélien par la restriction est un borélien et on lui ajoute une sous-partie d'un ensemble de mesure nulle donc c'est encore dans la tribu.
Si f n'est pas continue en 0, c'est encore plus simple, f^-1(borélien)=borélien de ]0,1] + éventuellement 0 ce qui ne change pas le fait que c'est un borélien.
La réciproque partielle c'est plus coton.