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Une intégrale simple... (!)



  1. #1
    citrouille
    Bonjour!
    Juste un petit renseignement, à propos d'une démonstration de M. Bass: Il écrit: intégrale de d(theta) = 2kPi.
    Excusez mon inculture, mais d'où sort ce k?
    On s'arrange dans la suite de la démonstration pour que k soit égal à zéro, ce qui arrange bien, mais bon...

    Doublon effacé. Coincoin

    -----

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  3. #2
    Coincoin
    Salut
    On pourrait voir la démonstration en entier, stp?

  4. #3
    citrouille
    Oui, pas de problème, il s'agit de la démonstration du principe du planimètre. Alors voilà:
    Soit T une courbe fermée dont l'aire est: A=1/2 (int. sur T) (x.dy - y.dx).
    Supposons que le point P (x,y) qui décrit T soit l'extrémité d'une barre rigide, et désignons par (X,Y) les coordonnées d'un point H de cette barre, situé à la distance l de P. Si Theta est l'angle du vecteur HP avec l'axe des abscisses, on a :
    x = X + l cos (Theta) et y = Y + l sin (Theta)
    Un calcul (que j'ai fait et où à un signe près je trouve la bonne réponse :? ) montre que:

    x.dy - y.dx = X.dY - Y.dX + l^2*d (Theta) + 2l*(cos Theta*dY - sin Theta*dX) + ld(X sin Theta - Y cos Theta). (ouf...)

    Intégrons sur T et désignons par T' l'arc de courbe que décrit le point H. Nous supposons les connexions organisées de telle sorte que T' soit un contour fermé, ayant une aire A' algébrique. Dans ces conditions:

    Int (d Theta) = 2kPi et Int sur T (d(X sin Theta - Y cos Theta) = 0.

    Dans la pratique on s'arrange pour que k=0. On a donc:

    A=A' + l * Int sur T (cos theta * dY - sin theta * dX).


    Désignons par "a" l'angle de la normale à T' avec l'axe des abscisses, cette normale étant orientée de telle sorte que le sens positif de la tangente à T' s'en déduise par la rotation de Pi/2, et par "s" l'abscisse curviligne sur T'. On a:

    dX = -sin a ds et dY = cos a ds,

    d'où:

    A-A' = Int sur T (cos (a - theta) ds ).

    Voilà, voilà... Ensuite, on introduit la théorie de la roulette dérapante, et si A' = 0, c'est à dire si on fait décrire au point H un aller-retour, on peut déterminer l'aire d'une courbe fermée sans problème.

    Le planimètre que j'étudie date de 1930 et des poussières, et je n'ai pas la notice! J'ai juste retrouvé une théorie dans un vieux livre de maths, mais j'avoue être dépassé... ops: Alors si vous avez 5 minutes, merci bien!

    PS: promis, je vais me mettre au LaTeX...
    [/i]

  5. #4
    olle
    g pas trop compris la démo, mais selon moi le k vient du fait qu'en suivant un parcours fermé avec le doigt, on fera toujours un nombre k de tour complet autour de l'origine.

    donc
    si on a comme contour un ovale, un cercle etc avec l'origine dedans, k = 1
    si on a quoi que ce soit comme contour avec l'orginie à l'extérieur, k =0



    bon je me plante ptet.

  6. #5
    citrouille
    Oui, c'est peut-être une explication (avec un schéma en plus, je m'incline!!) mais je ne vois pas bien l'explication mathématique... Je suis toujours dessus, alors n'hésitez pas!!
    Merci pour votre aide, en tout cas!

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    citrouille
    Bon finalement, j'ai trouvé... Il s'agissait juste d'une primitive, je pense, et donc le K provient du nombre de fois qu'on parcourt la petite courbe. Saleté de démonstration, écrite à moitié en vieux françoué!!
    Merci.

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