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valeur d'adhérence



  1. #1
    jameso

    valeur d'adhérence


    ------

    bonjour, je n'arrive pas à démarrer sur un exo dont voici le texte:

    f : R^m ---> R^m continue
    on prend Uo dans R^m et on pose Un+1=f(Un)

    on suppose que (Un) possede une seule valeur d'adhérence

    montrer qu'elle converge ??


    avez vous une idée pour démarrer cet exo car j'ai du mal à cerner les valeurs d'adherences ,ayant vu pas mal de définitions différentes (mais surement équivalentes) qui me mettent un peu dans le flou

    merci
    jameso

    -----
    Dernière modification par jameso ; 13/12/2004 à 12h32.

  2. Publicité
  3. #2
    Quinto

    Re : valeur d'adhérence

    Je pense qu'on doit pouvoir s'arranger en faisant la même démonstration que dans R.
    Essaie de supposer qu'elle diverge...

    Prend pour définition ici en tout cas, qu'une valeur d'adhérence est une limite de suite extraite.

  4. #3
    µµtt

    Re : valeur d'adhérence

    Salut James,


    Une proposition :

    Déjà, si a = unique v.a. alors a=f(a) : f(u(phi(n)) -> f(a) = a par unicité)

    Si u(n) n'est pas convergente, on peut en extraire une suite tq |u(phi1(n) - a | > eps > 0

    On peut aussi extraire une suite disjointe tq | u(phi2(n)) - a | < eps, qui étant bornée converge vers a, unique v.a.

    Ménant par C° en a=f(a) de f f reste "collée" à a si on s'en approche trop et on arrive à une contradiction.

  5. #4
    jameso

    Re : valeur d'adhérence

    salut quinto et µ²
    en effet raisonner par l'absurde semble être une bonne idée

    sinon µµtt il y a plusieurs points que je comprends pas bien

    1) pourquoi f(a)=a ?
    2) pourquoi (u(phi2(n)) est bornée ?
    3) et j'ai du mal à suivre l'histoire du reste "collée" ie la conclusion

    amicalement
    james

  6. #5
    Quinto

    Re : valeur d'adhérence

    Le f(a)=a est facile à voir, regarde:
    En fait si a est une v.a, alors il existe une suite (vn) extraite de (un) qui converge vers a.

    En particulier f(vn) converge vers f(a) puisque f est continue.

    mais f(vn)=v(n+1) et comme vn converge vers a, (vn+1) converge également vers a.

    Ainsi lim(f(vn))=lim(vn) mais lim(vn)=f(a) et lim(vn)=a donc f(a)=a par unicité de la limite dans R^m.

    Ceci est ce que µ² a fait en 1e ligne (ou vn=u(phi(n)) avec ses notations)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    µµtt

    Re : valeur d'adhérence

    Re James,


    Bon le 1 ça doit être bon

    2) a = limite d'une suite extraite que j'appelle u(phi2(n))

    3) |x-a| < eps => |f(x)-a| < eps (qui à prendre eps plus petit)


    Et oui, je note || la norme sur R^n pour simplifier

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  10. #7
    jameso

    Re : valeur d'adhérence

    merci quinto et µ²;
    pour 1) et 2) on est ok, mais pour 3): where is the contradiction ? je ne vois pas trop...peux tu une nouvelle fois éclairer ma lanterne?

    merci pour tout
    amicalement
    james
    Dernière modification par jameso ; 13/12/2004 à 18h37.

  11. #8
    jameso

    Re : valeur d'adhérence

    tiens un autre sur les suites extraites et mes amis les epsilon :
    j'aurai aimé savoir si ce que j'ai brouilloné est correct ou pas

    (X,d) un métrique compact f:X---->X tel que pour tout a et b dans X
    d(f(a),f(b))>=d(a,b)

    le but est de voir que f est une isométrie

    1) a,b dans X ,(an),(bn) avec ao=a et bo=b et an+1=f(an) et aussi bn+1=f(bn)
    montrer que {(an,bn)} admet une sous suite convergente dans X*X

    je pense que si X*X est muni de la topologie produit alors on peut dire que le produit d'espace compacts X*X est compact (tychonoff)
    il existe alors une sous suite de {(an,bn)} convergente dans X (propriété de BW)


    2)il faut en déduire que pour tout eps>0 il existe k,n dans N* tel que:
    d(an,an+k)<eps et d(bn,bn+k)<eps


    je pense à la caractérisation des suites de cauchy
    je vais donc chercher à montrer que (an) et (bn) convergent
    d'après 1) et par une double extraction de suites je conclus à la convergence de (an) et (bn)

    3) il faut montrer que pour tout eps >0 il existe k dans N* tel que d(a,ak)<eps et d(b,bk)<eps

    je n'en sais trop rien?

    4)montrer que d(ak,bk)>=d(f(a),f(b))?

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