un gros casse tête avec des equa diff

[invite17df6762]

Coucou tout le monde, pour demain j'ai un dm avec un exo ou il y a la loi de refroisissement de Newton. Il parait que cet un grand classique mais pour moi c'et la misère. Donc aidez moi please.

La loi de refroidissement de Newton s'énonce ainsi:"la vitesse de refroisissement d'un corps inerte est proportionnelle à la différence de temprérature entre ce corps et le milieu ambiant."
Autrement dit, si f(t) désigne la température d'un corps inerte à l'instant t et T désigne la température du milieu ambiant (T est supposé constante), on a : f(t)= a (T- f(t)) où a désigne une constante dépendant des conditions expérimentales.
Dans tout le problème, le tps t est exprimé en minutes.

1)Dans une cuisine, il fait 20°C. A l'instant t=0, on verse dans le bol de pierre de la soupe à 60°C.
On note f(t) la température de la soupe après t minutes.
Exprimer f(t) en fonction de t et de a.


Voila le sujet tout en fête mais il y a d'otre question mais si quelqu'un arrive à cette question je pense pouvoir réussir à faire les autres.
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[invite88ef51f0]

Salut,

f(t)= a (T- f(t))

Tu veux sans doute dire f'(t)= a (T- f(t)), non ?
Il faut que tu résolves l'équation y'+ay= 0 (équation homogène) avant de chercher une solution particulière (ça m'étonnerait pas que la solution constante f(t)=T marche).

[invite980a875f]

Salut,
tu t'es trompé, c'est:
f'(t)=a(T-f(t))
Ici, T=20
f'(t)=a(20-f(t)). En écrivant avec des y:
y'=-ay+20a (E)
Résolvons l'équation homogène associée qui est
y'=-ay (H)
La solution de cette équation est:
y=Ke^(-at)

Maintenant on peut chercher une solution particulière de l'équation (E): y'+ay=20a
Cherchons une solution de la forme y=b, avec b dans R.
On a y'=0
Donc: ab=20a
b=20.
Donc la solution générale de l'équation est
y=Ke^(-at)+20
Maintenant on peut trouver K car on a une condition initiale (température initiale=60°C)
Donc, quand t=0, f(t)=60
60=Ke^0 +20
60=K+20
K=40
Donc au final:
f(t)=40e^(-at)+20.
Je suppose qu'après dans l'exo on te demande des questions comme: à quelle date la soupe est-elle à 50°C ou 40°C... Dans ce cas là, tu remplaces f(t) par 50 ou 40 et tu cherches t.

[invite17df6762]

Merci bcp à vous deux car en effet je me suis tromper c'est

f'(t)=a (T-f(t))

et après les questions sont:
2) Au bout de 2 minutes, Pierre n'a toujours pas bu sa soupe qui est maintenant à à 45°C.
Calculer la valeur de la constante a ( on arrondira à 10^-3 près)

3) Sachant ue Pierre ne boit sa soupe que lorsque sa température passe en dessous de 25°C, combien de temps ses parents devront ils attendre avant que leur enfant commence à boire sa soupe? (Arrondir à la minute)


En tout cas merci bcp.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite17df6762]

en fait meme avec vos conseils je n'arrive pas a résoudre les deux dernières questions. Pourriez vous m'indiquer comment faire?


merci encore à tous.

[invite17df6762]

svp je suis depuis tout à l'heure à la question 2) et je n'arrive aps a trouver la constante a .

est ce que quelqu'un qui a trouver pourrait m'expliquer comment il a fait.

merci encore

[invite88ef51f0]

Tu as l'expression de la température au cours du temps : f(t)=40e^(-at)+20. Il suffit ensuite dire qu'on a : 45=40 e^(-2a)+20, d'où -2a = ln(25/40)... et tu obtiens a en min^-1

[invite980a875f]

Salut,
et pour la dernière:
f(t)=40e^(-at)+20
On veut trouver à quelle date la température vaut 25°C, c'est-à-dire f(t)=25
25=40e^(-at)+20
5/40=e^(-at)
ln(1/8)=-at
-ln8=-at
t=(ln8)/a
Comme tu as calculé a à la question précédente c'est bon.