un gros casse tête avec des equa diff
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un gros casse tête avec des equa diff



  1. #1
    invite17df6762

    un gros casse tête avec des equa diff


    ------

    Coucou tout le monde, pour demain j'ai un dm avec un exo ou il y a la loi de refroisissement de Newton. Il parait que cet un grand classique mais pour moi c'et la misère. Donc aidez moi please.

    La loi de refroidissement de Newton s'énonce ainsi:"la vitesse de refroisissement d'un corps inerte est proportionnelle à la différence de temprérature entre ce corps et le milieu ambiant."
    Autrement dit, si f(t) désigne la température d'un corps inerte à l'instant t et T désigne la température du milieu ambiant (T est supposé constante), on a : f(t)= a (T- f(t)) où a désigne une constante dépendant des conditions expérimentales.
    Dans tout le problème, le tps t est exprimé en minutes.

    1)Dans une cuisine, il fait 20°C. A l'instant t=0, on verse dans le bol de pierre de la soupe à 60°C.
    On note f(t) la température de la soupe après t minutes.
    Exprimer f(t) en fonction de t et de a.


    Voila le sujet tout en fête mais il y a d'otre question mais si quelqu'un arrive à cette question je pense pouvoir réussir à faire les autres.

    -----

  2. #2
    Coincoin

    Re : un gros casse tête avec des equa diff

    Salut,
    f(t)= a (T- f(t))
    Tu veux sans doute dire f'(t)= a (T- f(t)), non ?
    Il faut que tu résolves l'équation y'+ay= 0 (équation homogène) avant de chercher une solution particulière (ça m'étonnerait pas que la solution constante f(t)=T marche).
    Encore une victoire de Canard !

  3. #3
    invite980a875f

    Re : un gros casse tête avec des equa diff

    Salut,
    tu t'es trompé, c'est:
    f'(t)=a(T-f(t))
    Ici, T=20
    f'(t)=a(20-f(t)). En écrivant avec des y:
    y'=-ay+20a (E)
    Résolvons l'équation homogène associée qui est
    y'=-ay (H)
    La solution de cette équation est:
    y=Ke^(-at)

    Maintenant on peut chercher une solution particulière de l'équation (E): y'+ay=20a
    Cherchons une solution de la forme y=b, avec b dans R.
    On a y'=0
    Donc: ab=20a
    b=20.
    Donc la solution générale de l'équation est
    y=Ke^(-at)+20
    Maintenant on peut trouver K car on a une condition initiale (température initiale=60°C)
    Donc, quand t=0, f(t)=60
    60=Ke^0 +20
    60=K+20
    K=40
    Donc au final:
    f(t)=40e^(-at)+20.
    Je suppose qu'après dans l'exo on te demande des questions comme: à quelle date la soupe est-elle à 50°C ou 40°C... Dans ce cas là, tu remplaces f(t) par 50 ou 40 et tu cherches t.

  4. #4
    invite17df6762

    Re : un gros casse tête avec des equa diff

    Merci bcp à vous deux car en effet je me suis tromper c'est

    f'(t)=a (T-f(t))

    et après les questions sont:
    2) Au bout de 2 minutes, Pierre n'a toujours pas bu sa soupe qui est maintenant à à 45°C.
    Calculer la valeur de la constante a ( on arrondira à 10^-3 près)

    3) Sachant ue Pierre ne boit sa soupe que lorsque sa température passe en dessous de 25°C, combien de temps ses parents devront ils attendre avant que leur enfant commence à boire sa soupe? (Arrondir à la minute)


    En tout cas merci bcp.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite17df6762

    Re : un gros casse tête avec des equa diff

    en fait meme avec vos conseils je n'arrive pas a résoudre les deux dernières questions. Pourriez vous m'indiquer comment faire?


    merci encore à tous.

  7. #6
    invite17df6762

    Re : un gros casse tête avec des equa diff

    svp je suis depuis tout à l'heure à la question 2) et je n'arrive aps a trouver la constante a .

    est ce que quelqu'un qui a trouver pourrait m'expliquer comment il a fait.

    merci encore

  8. #7
    Coincoin

    Re : un gros casse tête avec des equa diff

    Tu as l'expression de la température au cours du temps : f(t)=40e^(-at)+20. Il suffit ensuite dire qu'on a : 45=40 e^(-2a)+20, d'où -2a = ln(25/40)... et tu obtiens a en min-1
    Encore une victoire de Canard !

  9. #8
    invite980a875f

    Re : un gros casse tête avec des equa diff

    Salut,
    et pour la dernière:
    f(t)=40e^(-at)+20
    On veut trouver à quelle date la température vaut 25°C, c'est-à-dire f(t)=25
    25=40e^(-at)+20
    5/40=e^(-at)
    ln(1/8)=-at
    -ln8=-at
    t=(ln8)/a
    Comme tu as calculé a à la question précédente c'est bon.

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