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un gros casse tête avec des equa diff



  1. #1
    jujulegentil

    un gros casse tête avec des equa diff


    ------

    Coucou tout le monde, pour demain j'ai un dm avec un exo ou il y a la loi de refroisissement de Newton. Il parait que cet un grand classique mais pour moi c'et la misère. Donc aidez moi please.

    La loi de refroidissement de Newton s'énonce ainsi:"la vitesse de refroisissement d'un corps inerte est proportionnelle à la différence de temprérature entre ce corps et le milieu ambiant."
    Autrement dit, si f(t) désigne la température d'un corps inerte à l'instant t et T désigne la température du milieu ambiant (T est supposé constante), on a : f(t)= a (T- f(t)) où a désigne une constante dépendant des conditions expérimentales.
    Dans tout le problème, le tps t est exprimé en minutes.

    1)Dans une cuisine, il fait 20°C. A l'instant t=0, on verse dans le bol de pierre de la soupe à 60°C.
    On note f(t) la température de la soupe après t minutes.
    Exprimer f(t) en fonction de t et de a.


    Voila le sujet tout en fête mais il y a d'otre question mais si quelqu'un arrive à cette question je pense pouvoir réussir à faire les autres.

    -----

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  3. #2
    Coincoin

    Re : un gros casse tête avec des equa diff

    Salut,
    f(t)= a (T- f(t))
    Tu veux sans doute dire f'(t)= a (T- f(t)), non ?
    Il faut que tu résolves l'équation y'+ay= 0 (équation homogène) avant de chercher une solution particulière (ça m'étonnerait pas que la solution constante f(t)=T marche).
    Encore une victoire de Canard !

  4. #3
    Sharp

    Re : un gros casse tête avec des equa diff

    Salut,
    tu t'es trompé, c'est:
    f'(t)=a(T-f(t))
    Ici, T=20
    f'(t)=a(20-f(t)). En écrivant avec des y:
    y'=-ay+20a (E)
    Résolvons l'équation homogène associée qui est
    y'=-ay (H)
    La solution de cette équation est:
    y=Ke^(-at)

    Maintenant on peut chercher une solution particulière de l'équation (E): y'+ay=20a
    Cherchons une solution de la forme y=b, avec b dans R.
    On a y'=0
    Donc: ab=20a
    b=20.
    Donc la solution générale de l'équation est
    y=Ke^(-at)+20
    Maintenant on peut trouver K car on a une condition initiale (température initiale=60°C)
    Donc, quand t=0, f(t)=60
    60=Ke^0 +20
    60=K+20
    K=40
    Donc au final:
    f(t)=40e^(-at)+20.
    Je suppose qu'après dans l'exo on te demande des questions comme: à quelle date la soupe est-elle à 50°C ou 40°C... Dans ce cas là, tu remplaces f(t) par 50 ou 40 et tu cherches t.
    "Mets du feu dans l'âtre, maman, Grendel vient nous voir ce soir."
    D. Simmons, Hypérion.

  5. #4
    jujulegentil

    Re : un gros casse tête avec des equa diff

    Merci bcp à vous deux car en effet je me suis tromper c'est

    f'(t)=a (T-f(t))

    et après les questions sont:
    2) Au bout de 2 minutes, Pierre n'a toujours pas bu sa soupe qui est maintenant à à 45°C.
    Calculer la valeur de la constante a ( on arrondira à 10^-3 près)

    3) Sachant ue Pierre ne boit sa soupe que lorsque sa température passe en dessous de 25°C, combien de temps ses parents devront ils attendre avant que leur enfant commence à boire sa soupe? (Arrondir à la minute)


    En tout cas merci bcp.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    jujulegentil

    Re : un gros casse tête avec des equa diff

    en fait meme avec vos conseils je n'arrive pas a résoudre les deux dernières questions. Pourriez vous m'indiquer comment faire?


    merci encore à tous.

  8. #6
    jujulegentil

    Re : un gros casse tête avec des equa diff

    svp je suis depuis tout à l'heure à la question 2) et je n'arrive aps a trouver la constante a .

    est ce que quelqu'un qui a trouver pourrait m'expliquer comment il a fait.

    merci encore

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  10. #7
    Coincoin

    Re : un gros casse tête avec des equa diff

    Tu as l'expression de la température au cours du temps : f(t)=40e^(-at)+20. Il suffit ensuite dire qu'on a : 45=40 e^(-2a)+20, d'où -2a = ln(25/40)... et tu obtiens a en min-1
    Encore une victoire de Canard !

  11. #8
    Sharp

    Re : un gros casse tête avec des equa diff

    Salut,
    et pour la dernière:
    f(t)=40e^(-at)+20
    On veut trouver à quelle date la température vaut 25°C, c'est-à-dire f(t)=25
    25=40e^(-at)+20
    5/40=e^(-at)
    ln(1/8)=-at
    -ln8=-at
    t=(ln8)/a
    Comme tu as calculé a à la question précédente c'est bon.
    "Mets du feu dans l'âtre, maman, Grendel vient nous voir ce soir."
    D. Simmons, Hypérion.

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